【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1),B两点,与y轴交于C(0,5),直线l与y轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F,G是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若,且△BCG与△BCD面积相等,求点G的坐标;
(3)若在x轴上有且仅有一点P,使∠APB=90°,求k的值.
【答案】(1)y=x2﹣5x+5,(2)G(3,﹣1),G(,).(3)﹣1+
.
【解析】
(1)根据二次函数的图象与系数的关系列出方程组解出a,b,c的值即得二次函数的解析式;
(2)作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N,可得出B点的坐标即可列出方程组求出一次函数解析式,再根据S△BCD=S△BCG列出等式即可求得G;
(3)根据题意列出等式求出x的值,则B(k+4,k2+3k+1),再根据以AB为直径的圆与x轴只有一个交点,且P为切点,得出O′P⊥x轴,P(,0),根据△AMP∽△PNB,得出AMBN=PNPM,代入数值即可求出k的值.
解:(1)由题意可得,
解得a=1,b=﹣5,c=5;
∴二次函数的解析式为:y=x2﹣5x+5,
(2)作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N,
则,
∵MQ=,
∴NQ=2,B(,);
∴,
解得,
∴,D(0,),
同理可求,,
∵S△BCD=S△BCG,
∴①DG∥BC(G在BC下方),,
∴=x2﹣5x+5,
解得,,x2=3,
∵x>,
∴x=3,
∴G(3,﹣1).
②G在BC上方时,直线G2G3与DG1关于BC对称,
∴=,
∴=x2﹣5x+5,
解得,,
∵x>,
∴x=,
∴G(,),
综上所述点G的坐标为G(3,﹣1),G(,).
(3)由题意可知:k+m=1,
∴m=1﹣k,
∴yl=kx+1﹣k,
∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5,
解得,x1=1,x2=k+4,
∴B(k+4,k2+3k+1),
设AB中点为O′,
∵P点有且只有一个,
∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点,且P为切点,
∴O′P⊥x轴,
∴P为MN的中点,
∴P(,0),
∵△AMP∽△PNB,
∴,
∴AMBN=PNPM,
∴1×(k2+3k+1)=(k+4﹣)(),
∵k>0,
∴k==﹣1+.
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【题目】在日历上我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2018年8月份的日历,我们任意选择其中所示的方框部分,将方框部分中的4个位置的数交叉相乘,再相减,如8×16-9×15=-7,19×27-20×26=-7,不难发现结果都是-7.
(1)请你再选择一组数按上面的方式计算,看看是否符合这个规律.并用你擅长的表达方式描述这个规律.
(2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.
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【题目】如图①的长方形ABCD中, E在AD上,沿BE将A点往右折成如图②所示,再作AF⊥CD于点F,如图③所示,若AB=2,BC=3,∠BEA=60°,则图③中AF的长度为_______.
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【题目】下面是课本中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知:∠AOB. 求作:一个角,使它等于∠AOB.作法:如图
(1)作射线O'A';
(2)以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于C,交OB于D;
(3)以O'为圆心,OC为半径作弧C'E',交O'A'于C';
(4)以C'为圆心,CD为半径作弧,交弧C'E'于D';
(5)过点D'作射线O'B'.
则∠A'O'B'就是所求作的角.
请回答:该作图的依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
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【题目】如图,已知正比例函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为4,
(1)求k的值;
(2)根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k>0)于P、Q两点(P点在第一象限),若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224,求点P的坐标.
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【题目】如图,将放在每个小正方形的边长为的网格中,点、、均落在格点上.
(1)的面积等于________;
若四边形是中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明)________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1的解析式为y=x,直线l2的解析式为y=-x+3,与x轴、y轴分别交于点A、点B,直线l1与l2交于点C.点P是y轴上一点.
(1)写出下列各点的坐标:点A( , )、点B( , )、点C( , );
(2)若S△COP=S△COA,请求出点P的坐标;
(3)当PA+PC最短时,求出直线PC的解析式.
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