Question

已知，如图，矩形BCED的两个顶点在⊙O上，过O作BC的垂线交BC于H，交⊙O于A，连AB，AC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=BD=2，求⊙O的周长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,矩形的性质

专题：

分析：（1）根据垂径定理即可证得；
（2）延长AO交⊙O于F，连接DF，从而证得四边形ABDF是等腰梯形，根据直径所对的圆周角是直角证得∠ABF=90°，然后通过等腰三角形和平行线的性质即可证得∠AFB=30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可求得直径，进而求得周长．

解答：（1）证明：∵OA是⊙O的半径，OA⊥BC，
∴OA平分BC，
∴AB=AC；
（2）解：如图，延长AO交⊙O于F，连接DF，
∵BD⊥BC，OA⊥BC，
∴BD∥AF，
∴DF=AB，∠DBF=∠BFA，
∵AB=BD=2，
∴AB=BD=DF=2，
∴四边形ABDF是等腰梯形，
∴∠BAF=∠DFA，
连接BF，
∵AF是直径，
∴∠ABF=90°，
∵BD=DF，
∴∠DBF=∠DFB，
∴∠DFB=∠AFB，
设∠DFB=∠AFB=∠DBF=x，
∴∠BAF=2x，
∵∠ABD+∠BAF=180°，
∴x+90°+2x=180°，解得x=30°，
∴∠AFB=30°，
∴AF=2AB=2×2=4，
∴⊙O的周长=4π．

点评：本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角的性质，等腰梯形的判定和性质，平行线的性质以及30°所对的直角边等于斜边的一半的性质等，作出辅助线构建等腰梯形以及直角三角形是关键．