Question

如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线，BF是∠ABC的平分线，BF的延长线交AE于E．
（1）求证：AF=FB=BC；
（2）求证：

EF

BF

=

BC

FC

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）由条件可求得∠FBA=BAC=∠FBC=36°，∠BFC=∠BCF=72°，可得AF=FB=BC；
（2）由条件可证明AE∥BC，则可得

EF

BF

=

AF

FC

，结合（1）AF=BC，代入可证得结论．

解答：证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC=36°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BF，
又∠BFC=∠BAF+∠FBA=72°=∠ACB，
∴BF=BC，
∴AF=FB=BC；
（2）∵∠BAC=36°，
∴∠DAC=144°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAF=72°=∠ACB，
∴AE∥BC，
∴

EF

BF

=

AF

FC

，
∵AF=BC，
∴

EF

BF

=

BC

FC

．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质及平行线分线段成比例，掌握等角对等边是解题的关键，注意三角形内角和定理的灵活运用．