Question

当自变量x=4时，二次函数有最小值-3，且它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1．求：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）由自变量x=4时，二次函数有最小值-3，可知顶点坐标为（4，-3），由此可设顶点式为y=a（x-4）²-3，再将（1，0）代入，求出a的值，进而得到这个二次函数的表达式；
（2）由抛物线的对称轴为x=4，与x轴的一个交点的坐标为（1，0），根据二次函数的对称性即可求出这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标．

解答：解：（1）∵当自变量x=4时，二次函数有最小值-3，
∴顶点坐标为（4，-3），
∴可设顶点式为y=a（x-4）²-3，
将（1，0）代入，得9a-3=0，
解得a=

1

3

，
∴这个二次函数的表达式为y=

1

3

（x-4）²-3；

（2）∵y=

1

3

（x-4）²-3，
∴对称轴为x=4，
又∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点的横坐标为2×4-1=7．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．同时考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点．