如图1.E是直线AB.CD内部一点.AB∥CD.连接EA.EC．(1)探究猜想:①若∠A=30°.∠D=40°.则∠AEC=70°．②猜想图①中∠AEC.∠EAB.∠ECD的关系.并证明你的结论．(2)拓展应用:如图②.射线EF与AB.CD分别交于点EF.AB∥CD.a.b.c.d分别是被射线EF隔开的4个区域.其中区域c.d位于直线CD下方.P是位于以上四个区域上的点.猜想:∠PEA.∠PFC.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，EC．
（1）探究猜想：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AEC=70°．
②猜想图①中∠AEC，∠EAB，∠ECD的关系，并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图②，射线EF与AB、CD分别交于点EF，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线EF隔开的4个区域（不含边界），其中区域c，d位于直线CD下方，P是位于以上四个区域上的点，
猜想：∠PEA，∠PFC，∠EPF的关系（选择其中一种情况画出图形，并直接写出所有结论）．

分析（1）①根据图形猜想得出所求角度数即可；
②猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；
（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．

解答解：（1）①∠AEC=70°；

②猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，
证明：延长AE交DC于点F，
∵AB∥DC，
∴∠EAB=∠EFD，
∵∠AED为△EDF的外角，
∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；

（2）当P点在区域a时，如图3，∠EPF=∠PEA+∠PFC；
当P点在区域b时，如图4，∠EPF+∠PEA+∠PFC=360；
当P点在c区域时，如图5，∠PFA=∠PEC+∠EPF；
当P在d区域时，如图6，∠PFC=∠PEA+∠EPF；

证明：图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC=180，
∴∠PEA+∠PFC=180°-∠PEF-∠PFE，
∵∠EPF=180°-∠PEF-∠PFE，
∴∠EPF=∠PEA+∠PFC．

点评本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，能画出符合的各个情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．

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