Question

如图，等边△ABC边长为a，D是BC边上一点，且BD：DC=2：3，把△ABC折叠，使A落在BC边上的D处．
（1）设折痕为MN，求

AM

AN

．
（2）如果

BD

DC

=

m

n

，求

AM

AN

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）设出未知数，运用余弦定理列出关于线段AM的方程，求出AM的长度；同理求出线段AN的长度，即可解决问题．（2）类比（1）中的解法，同理可求出AM、AN的长度，即可解决问题．

解答：解：（1）由题意得：
AM=DM（设为λ），AN=DN（设为μ），
则BM=a-λ，CN=a-μ；
∵BD：DC=2：3，
∴BD=

2

5

a，DC=

3

5

a；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°；
在△BDM中，由余弦定理得：
λ2=(a-λ)2+(

2

5

a)2-2×

2

5

a(a-λ)cos60°，
化简整理得：λ=

19

40

a；
在△DCN中，同理可求：μ=

19a

35

∴

λ

μ

=

7

8

即

AM

AN

=

7

8

（2）
∵

BD

DC

=

m

n

，BC=a，
∴BD=

ma

m+n

，DC=

na

m+n

；
设AM=DM=λ，AN=DN=μ，
则BM=a-λ，CN=a-μ；
类比（1）中的方法，根据余弦定理列出方程，
可求得：λ=

a(m2+mn+n2)

(m+2n)(m+n)

，μ=

a(m2+mn+n2)

(2m+n)(m+n)

，
∴

λ

μ

=

2m+n

m+2n

，
即

AM

AN

=

2m+n

m+2n

．

点评：该题以等边三角形形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、余弦定理及其应用等知识点为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、解答；对求解运算能力提出了较高的要求．