【题目】已知点O是AB上的一点,∠COE=90°,OF平分∠AOE.
(1)如图1,当点C,E,F在直线AB的同一侧时,若∠AOC=40°,求∠BOE和∠COF的度数;
(2)在(1)的条件下,∠BOE和∠COF有什么数量关系?请直接写出结论,不必说明理由;
(3)如图2,当点C,E,F分别在直线AB的两侧时,若∠AOC=β,那么(2)中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立?请写出结论,并说明理由.
【答案】(1) ∠COF=25°, ∠BOE=50°;(2) ∠BOE=2∠COF;(3) ∠BOE=2∠COF,理由见解析
【解析】
(1)求出∠BOE和∠COF的度数即可判断;
(2)由(1)即可求解;
(3)结论:∠BOE=2∠COF.根据角的和差定义即可解决问题.
解:(1)∵∠COE=90°,∠AOC=40°,
∴∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE=180°﹣40°﹣90°=50°,
∠AOE=∠AOC+∠COE=40°+90°=130°,
∵OF平分∠AOE,
∴∠EOF=∠AOE=
×130°=65°,
∴∠COF=∠COE﹣∠EOF=90°﹣65°=25°;
(2)∠BOE=2∠COF.
(3)∠BOE=2∠COF.
理由如下:∵∠COE=90°,∠AOC=β,
∴∠AOE=∠COE﹣∠AOC=90°﹣β,
∴∠BOE=180°﹣∠AOE=180°﹣(90°﹣β)=90°+β,
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=∠AOE=
(90°﹣β)=45°﹣
β,
∴∠COF=β+(45°﹣β)=45°+
β,
∴2∠COF=2(45°+β)=90°+β,
∴∠BOE=2∠COF.
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【题目】如图,⊙O中,点A为中点,BD为直径,过A作AP∥BC交DB的延长线于点P.
(Ⅰ)求证:PA是⊙O的切线;
(Ⅱ)若BC=2,AB=2
,求sin∠ABD的值.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中,有一道“群羊逐草”的问题,大意是:牧童甲在草原上放羊,乙牵着一只羊来,并问甲:“你的羊群有100只吗?”甲答:“如果在这群羊里加上同样的一群,再加上半群,四分之一群,再加上你的一只,就是100只.”问牧童甲赶着多少只羊?若设这群羊有x只,则下列方程中,正确的是( )
A. (1++
)x=100+1 B. x+x+
x+
x=100﹣1 C. (1+
+
)x=100﹣1 D. x+x+
x+
x=100+1
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【题目】如图,已知线段AB、a、b.
(1)请用尺规按下列要求作图:(不要求写作法,但要保留作图痕迹)
①延长线段AB到C,使BC=a;
②反向延长线段AB到D,使AD=b.
(2)在(1)的条件下,如果AB=8cm,a=6m,b=10cm,且点E为CD的中点,求线段AE的长度.
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【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH.
(1)求证:四边形AFHD为平行四边形;
(2)若CB=CE,∠BAE=60°,∠DCE=20°,求∠CBE的度数.
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【题目】如图,直线AB、CD相交于点O.已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角,且∠AOE:∠EOC=2:3.
(1)求∠AOE的度数;
(2)若OF平分∠BOE,问:OB是∠DOF的平分线吗?试说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BCAD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有( )
A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4个
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【题目】如图,四边形ABCD是边长为6的正方形,点E在边AB上,BE=4,过点E作EF∥BC,分别交BD,CD于点G,F两点,若M,N分别是DG,CE的中点,则MN的长是______.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=________.
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