【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M(半径为r),给出如下定义:若点P关于点M的对称点为Q,且r≤PQ≤3r,则称点P为⊙M的称心点.
(1)当⊙O的半径为2时,
①如图1,在点A(0,1),B(2,0),C(3,4)中,⊙O的称心点是 ;
②如图2,点D在直线yx上,若点D是⊙O的称心点,求点D的横坐标m的取值范围;
(2)⊙T的圆心为T(0,t),半径为2,直线yx+1与x轴,y轴分别交于点E,F.若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点,直接写出t的取值范围.
【答案】(1)①点A,B;②m或m;(2) ﹣2≤t≤1或2≤t.
【解析】
(1)①先求出点A,B,C关于点O的对称点A',B',C'进而求出AA',BB',CC',再判断即可得出结论;
②先求出点D的坐标,再利用新定义建立不等式求解即可得出结论;
(2)先求出点E,F坐标,进而求出∠EFO=60°,进而找出y轴上到线段EF的距离为2时的位置,再分情况利用新定义,即可得出结论.
(1)①∵A(0,1),
∴点A关于点O的对称点为A'(0,﹣1),
∴AA'=1﹣(﹣1)=2,
∵⊙O的半径为2,
∴点A是⊙O的称心点,
∵B(2,0),
∴点B关于点O的对称点为B'(﹣2,0),
∴BB'=2﹣(﹣2)=4,
∵⊙O的半径为2,
∴2<BB'<6,
∴点B是⊙O的称心点,
∵C(3,4),
∴点C关于点O的对称点为C'(﹣3,﹣4),
∴CC'25>3r,
∴点C不是⊙O的称心点,
故答案为:点A,B;
②∵点D在直线yx上,且点D的横坐标为m,
∴D的坐标为(m,m),
∴点D关于点O的对称点D'的坐标为(﹣m,m),
∴DD'4|m|,
∵点D是⊙O的称心点,且⊙O的半径为2,
∴2≤4|m|≤6,
∴m或m,
∴点D的横坐标m的取值范围是m或m;
(2)如图,
对于直线yx+1,
令x=0,
∴y=1,F(0,1),
∴OF=1,
令y=0,
∴x+1=0,
∴x,
∴E(,0),
∴OE,
在Rt△EOF中,tan∠EFO,
∴∠EFO=60°,
过y轴上一点H作直线EF的垂线交线段EF于G,
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点,且⊙T的半径为2,
∴TG最小=2,
在Rt△FGT中,sin∠EFO,
∴FH,
∴OH=FH﹣OF1,
当点T从H向下移动时,GH,FH越来越长,EH越来越短,到点G和E重合之后,GH越来越长,
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点,
∴FH=1﹣t≤3,
∴t≥﹣2,
EH≤3,
∴3,
∴t,
∴﹣2≤t≤1,
当点T从点H向上移动时,点T在FH上时,T到EF的距离小于2,此种情况不符合题意,
当点T从点F向上移动时,ET≥EF,
即:ET≥2,
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点,
∴FH≥1,EH≤3,
∴t﹣1≥1,3,
∴2≤t,
且t的取值范围是﹣2≤t≤1或2≤t.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
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【题目】2020年新型冠状病毒肺炎疫情肆虐,红星社区为了提高社区居民的身体素质,鼓励居民在家锻炼,特采购了一批跳绳免费发放,已知2根幸福牌跳绳和1根平安牌跳绳共需31元,2根平安牌跳绳和3根幸福牌跳绳共需54元.
(1)求幸福牌跳绳和平安牌跳绳的单价;
(2)已知该社区需要采购两种品牌的跳绳共60根,且平安牌跳绳的数量不少于幸福牌跳绳数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,点O在AB上,BC=CD,过点C作⊙O的切线,分别交AB,AD的延长线于点E,F.
(1)求证:AF⊥EF;(2)若cosA=,BE=1,求AD的长.
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【题目】受疫情影响,很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召,开展线上教学活动.为了解学生上网课使用的设备类型,某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查.调查结果显示,每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种,现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)若该校共有1500名学生,估计全校用手机上网课的学生共有___________名;
(3)在上网课时,老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题,求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将绕点顺时针旋转到的位置,点,分别落在点,处,点在轴上,再将绕点顺时针旋转到的位置,点在轴上,将绕点顺时针旋转到的位置,点在轴上,依次进行下去……,若点,,则点的坐标为________.
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【题目】孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时,给同学们提出了一个问题:“如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子,它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大?”同学们展开讨论,各抒己见,其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答.小芳认为6的可能性最大,小超认为7的可能性最大.你认为他们俩的回答正确吗?请用列表或画树状图等方法加以说明.(骰子:六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6个小圆点的小正方体.)
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