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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M(半径为r),给出如下定义:若点P关于点M的对称点为Q,且rPQ≤3r,则称点P为⊙M的称心点.

1)当⊙O的半径为2时,

①如图1,在点A01),B20),C34)中,⊙O的称心点是   

②如图2,点D在直线yx上,若点D是⊙O的称心点,求点D的横坐标m的取值范围;

2)⊙T的圆心为T0t),半径为2,直线yx+1x轴,y轴分别交于点EF.若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点,直接写出t的取值范围.

【答案】(1)ABmm;(2) 2≤t≤12≤t

【解析】

1)①先求出点ABC关于点O的对称点A'B'C'进而求出AA'BB'CC',再判断即可得出结论;
②先求出点D的坐标,再利用新定义建立不等式求解即可得出结论;
2)先求出点EF坐标,进而求出∠EFO=60°,进而找出y轴上到线段EF的距离为2时的位置,再分情况利用新定义,即可得出结论.

1)①∵A01),

∴点A关于点O的对称点为A'0,﹣1),

AA'1﹣(﹣1)=2

∵⊙O的半径为2

∴点A是⊙O的称心点,

B20),

∴点B关于点O的对称点为B'(﹣20),

BB'2﹣(﹣2)=4

∵⊙O的半径为2

2BB'6

∴点B是⊙O的称心点,

C34),

∴点C关于点O的对称点为C'(﹣3,﹣4),

CC'253r

∴点C不是⊙O的称心点,

故答案为:点AB

②∵点D在直线yx上,且点D的横坐标为m

D的坐标为(mm),

∴点D关于点O的对称点D'的坐标为(﹣mm),

DD'4|m|

∵点D是⊙O的称心点,且⊙O的半径为2

2≤4|m|≤6

mm

∴点D的横坐标m的取值范围是mm

2)如图,

对于直线yx+1

x0

y1F01),

OF1

y0

x+10

x

E0),

OE

RtEOF中,tanEFO

∴∠EFO60°

y轴上一点H作直线EF的垂线交线段EFG

∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点,且⊙T的半径为2

TG最小2

RtFGT中,sinEFO

FH

OHFHOF1

当点TH向下移动时,GHFH越来越长,EH越来越短,到点GE重合之后,GH越来越长,

∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点,

FH1t≤3

t2

EH≤3

3

t

∴﹣2≤t≤1

当点T从点H向上移动时,点TFH上时,TEF的距离小于2,此种情况不符合题意,

当点T从点F向上移动时,ETEF

即:ET≥2

∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点,

FH≥1EH≤3

t1≥13

2≤t

t的取值范围是﹣2≤t≤12≤t

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