Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝﹣在第二象限内的图象相交于点A，与x轴的负半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C．

（1）求∠BCO的度数；

（2）若y轴上一点M的纵坐标是4，且AM＝BM，求点A的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，点Q是平面直角坐标系中的一点，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）∠BCO＝45°；（2）A(﹣4，1)；（3）点Q坐标为(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，)或(4，1)．

【解析】

（1）证明△OBC是等腰直角三角形即可解决问题；

（2）如图1中，作MN⊥AB于N．根据一次函数求出交点N的坐标，用b表示点A坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

（3）分两种情形：①当菱形以AM为边时，②当AM为菱形的对角线时，分别求解即可．

（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象交x轴于B，交y轴于C，则B(b，0)，C（0，b），

∴OB＝OC＝﹣b，

∵∠BOC＝90°

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠BCO＝45°．

（2）如图1中，作MN⊥AB于N，

∵M（0，4），MN⊥AC，直线AC的解析式为：y＝﹣x+b，

∴直线MN的解析式为：y＝x+4，

联立，解得：，

∴N(，)，

∵MA＝MB，MN⊥AB，

∴NA＝BN，设A(m，n)，

则有，解得：，

∴A(﹣4，b+4)，

∵点A在y＝﹣上，

∴﹣4（b+4）＝﹣4，

∴b＝﹣3，

∴A（﹣4，1）；

（3）如图2中，

由（2）可知A(﹣4，1)，M(0，4)，

∴AM＝＝5，

当菱形以AM为边时，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q(﹣4，﹣4)，Q′(﹣4，6)，

当A，Q关于y轴对称时，也满足条件，此时Q(4，1)，

当AM为菱形的对角线时，设P″(0，b)，

则有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，

∴b＝﹣．

∴AQ″＝MP″＝，

∴Q″(﹣4，)，

综上所述，满足条件的点Q坐标为(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，)或(4，1)．