【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴分别交于A(﹣3,0),B两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点E(﹣1,4),对称轴交x轴于点F.
(1)请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式;
(2)连接AC、AE、CE,判断△ACE的形状,并说明理由;
(3)如图2,点D是抛物线上一动点,它的横坐标为m,且﹣3<m<﹣1,过点D作DK⊥x轴于点K,DK分别交线段AE、AC于点G、H.在点D的运动过程中,
①DG、GH、HK这三条线段能否相等?若相等,请求出点D的坐标;若不相等,请说明理由;
②在①的条件下,判断CG与AE的数量关系,并直接写出结论.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;y=2x+6,y=x+3;(2)直角三角形,见解析;(3)①相等,(﹣2,3);②AE=2CG
【解析】
(1)设顶点式,将A点坐标代入,再化为一般式,根据常数项等于3即可求出a的值,由此可得抛物线解析式,设直线AE和AC的解析式,再分别将A点、E点代入即可求出直线AE的解析式,将A点、C点代入即可求出直线AC解析式;
(2)分别求出AC2,CE2,AE2,利用勾股定理的逆定理即可判定;
(3)①设出点D、G、H的坐标,表示DG、HK、GH长度,先根据DG=HK列出方程求得x值,再据此求得DG、HK、GH长度,即可得解;②分别求出CG和AE的长度,即可得出它们的数量关系.
解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)2+4=ax2+2ax+a+4,
故a+4=3,解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3;
设直线AE的解析式为:,
将点A(﹣3,0)、E(﹣1,4)的坐标代入一次函数表达式得
,
解得:,
故直线AE的表达式为:y=2x+6,
设直线AC的解析式为:,
将点A(﹣3,0)、C(0,3)的坐标代入一次函数表达式得
,
解得:,
故直线AC的表达式为:y=x+3;
(2)点A、C、E的坐标分别为:(﹣3,0)、(0,3)、(﹣1,4),
则AC2==18,CE2==2,AE2==20,
故AC2+CE2=AE2,则△ACE为直角三角形;
(3)①设点D、G、H的坐标分别为:(x,﹣x2﹣2x+3)、(x,2x+6)、(x,x+3),
DG=﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6=﹣x2﹣4x﹣3;HK=x+3;GH=2x+6﹣x﹣3=x+3;
当DG=HK时,﹣x2﹣4x﹣3=x+3,解得:x=﹣2或﹣3(舍去﹣3),故x=﹣2,
当x=﹣2时,DG=HK=GH=1,
故DG、GH、HK这三条线段相等时,点D的坐标为:(﹣2,3);
②由①的点G的坐标为:(﹣2,2)
CG==;AE==2,
故AE=2CG.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,四边形是知形,,点是线段上一动点(不与重合),点是线段延长线上一动点,连接交于点.设,已知与之间的函数关系如图②所示.
(1)求图②中与的函数表达式;
(2)求证:;
(3)是否存在的值,使得是等腰三角形?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】二次函数(,,为常数,且)中的与的部分对应值如下表:
以下结论:
①二次函数有最小值为;
②当时,随的增大而增大;
③二次函数的图象与轴只有一个交点;
④当时,.
其中正确的结论有( )个
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,角α的两边与双曲线y=(k<0,x<0)交于A、B两点,在OB上取点C,作CD⊥y轴于点D,分别交双曲线y=、射线OA于点E、F,若OA=2AF,OC=2CB,则的值为______.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y=﹣在第二象限内的图象相交于点A,与x轴的负半轴交于点B,与y轴的负半轴交于点C.
(1)求∠BCO的度数;
(2)若y轴上一点M的纵坐标是4,且AM=BM,求点A的坐标;
(3)在(2)的条件下,若点P在y轴上,点Q是平面直角坐标系中的一点,当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点Q的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少?
(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围;
(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,活动课上,小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度,她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°,然后,她沿着坡度i=1:1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处,此时,测得点A的俯角是15°.图中点A、B、E、D、C在同一平面内,且点D、E、B在同一水平直线上,求出建筑地所在山坡AE的高度AB.(精确到0.1米,参考数据:≈1.41).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在单位长度为1米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为2米,圆心角为120°圆弧多次复制并首尾连接而成,现有一点P从A(A为坐标原点),以每秒米的速度沿曲线向右运动,则在第2020秒时点P的纵坐标为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】合肥百大集团新进了40台空调机,60台电冰箱,计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表:
空调机 | 电冰箱 | |
甲连锁店 | 200 | 170 |
乙连锁店 | 160 | 150 |
设集团调配给甲连锁店x台空调机,集团卖出这100台电器的总利润为y(元).
(1)求y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围;
(2)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润,问该集团应该如何设计调配方案,才能使总利润达到最大?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com