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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+3a≠0)与x轴分别交于A(﹣30),B两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点E(﹣14),对称轴交x轴于点F

1)请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式;

2)连接ACAECE,判断△ACE的形状,并说明理由;

3)如图2,点D是抛物线上一动点,它的横坐标为m,且﹣3m<﹣1,过点DDKx轴于点KDK分别交线段AEAC于点GH.在点D的运动过程中,

DGGHHK这三条线段能否相等?若相等,请求出点D的坐标;若不相等,请说明理由;

②在①的条件下,判断CGAE的数量关系,并直接写出结论.

【答案】1)y=﹣x2﹣2x+3;y2x+6yx+3;(2)直角三角形,见解析;(3)①相等,(﹣23);②AE2CG

【解析】

1)设顶点式,将A点坐标代入,再化为一般式,根据常数项等于3即可求出a的值,由此可得抛物线解析式,设直线AEAC的解析式,再分别将A点、E点代入即可求出直线AE的解析式,将A点、C点代入即可求出直线AC解析式;

2)分别求出AC2CE2AE2,利用勾股定理的逆定理即可判定;

3)①设出点DGH的坐标,表示DGHKGH长度,先根据DGHK列出方程求得x值,再据此求得DGHKGH长度,即可得解;②分别求出CGAE的长度,即可得出它们的数量关系.

解:(1)抛物线的表达式为:yax+12+4ax2+2ax+a+4

a+43,解得:a=﹣1

故抛物线的表达式为:y=﹣x22x+3

设直线AE的解析式为:

将点A(﹣30)、E(﹣14)的坐标代入一次函数表达式得

解得:

故直线AE的表达式为:y2x+6

设直线AC的解析式为:
将点A(﹣30)、C03)的坐标代入一次函数表达式得

解得:

故直线AC的表达式为:yx+3

2)点ACE的坐标分别为:(﹣30)、(03)、(﹣14),

AC2=18CE2=2AE2=20

AC2+CE2AE2,则△ACE为直角三角形;

3)①设点DGH的坐标分别为:(x,﹣x22x+3)、(x2x+6)、(xx+3),

DG=﹣x22x+32x6=﹣x24x3HKx+3GH2x+6x3x+3

DGHK时,﹣x24x3x+3,解得:x=﹣2或﹣3(舍去﹣3),故x=﹣2

x=﹣2时,DGHKGH1

DGGHHK这三条线段相等时,点D的坐标为:(﹣23);

②由①的点G的坐标为:(﹣22

CGAE2

AE2CG

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2)求证:;

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空调机

电冰箱

甲连锁店

200

170

乙连锁店

160

150

设集团调配给甲连锁店x台空调机,集团卖出这100台电器的总利润为y(元).

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