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【题目】我们定义:如果圆的两条弦互相垂直,那么这两条弦互为十字弦,也把其中的一条弦叫做另一条弦的十字弦”.如:如图,已知的两条弦,则互为十字弦十字弦也是十字弦”.

1)若的半径为5,一条弦,则弦十字弦的最大值为______,最小值为______.

2)如图1,若的弦恰好是的直径,弦相交于,连接,若,求证:互为十字弦

3)如图2,若的半径为5,一条弦,弦十字弦,连接,若,求弦的长.

【答案】1106;(2)见解析;(3.

【解析】

1)根据“十字弦”定义可得弦十字弦为直径时最大,当CDA点或B点时最小;

2)根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等,证明△ACH∽△DCA,由其性质得出对应角相等,结合90°的圆周角证出AHCD,根据“十字弦”定义可得;

3)过OOEAB于点E,作OFCD于点F,利用垂径定理得出OE=3,由正切函数得出AH=DH,DH=x,在RtODF中,利用线段和差将边长用x表示,根据勾股定理列方程求解.

解:(1)当CD为直径时,CD最大,此时CD=10

∴弦十字弦的最大值为10

CDA点时,CD长最小,即AM的长度,O点作ONAM,垂足为N,OGAB,垂足为G,则四边形AGON为矩形,

AN=OG,

OGAB,AB=8

AG=4

OA=5

∴由勾股定理得OG=3

AN=3

ONAM,

AM=6

即弦十字弦的最小值是6.

2)证明:如图,连接AD

,

∵∠C=C,

∴△ACH∽△DCA,

∴∠CAH=D,

CD是直径,

∴∠CAD=90°,

∴∠C+D=90°,

∴∠C+CAH=90°,

∴∠AHC=90°,

AHCD,

互为十字弦”.

3)如图,过OOEAB于点E,作OFCD于点F,连接OAOD,则四边形OEHF是矩形,∴OE=FH,OF=EH,

AE=4

∴由勾股定理得OE=3

FH=3

tanADH=,

tan60°= ,

DH=,AH=x,

FD=3+x,OF=HE=4 -x,

RtODF中,由勾股定理得,OD2=OF2+FD2

(3+x)2+(4 -x)2=52,

解得,x= ,

FD=,

OFCD,

CD=2DF=

CD=

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