Question

6．已知，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD+BC=8，当△ABC的面积最大时，△ABC的最小周长为4$\sqrt{5}$+4．

Answer 1

分析 设AD=x，则BC=8-x，列出关于x的二次函数解析式，求出△ABC的面积最大时x的值，根据轴对称的知识确定周长最小时BA+CA的值．

解答 解：设AD=x，则BC=8-x，
△ABC的面积为：y=$\frac{1}{2}$x（8-x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x，
根据二次函数的性质，x=4时，面积最大，如图，过点A作BC的平行线l，
作点关于l的对称点B′
BB′=8，BC=4，
根据勾股定理，CB′=4$\sqrt{5}$，
则△ABC的最小周长为：4$\sqrt{5}$+4．
故答案为：4$\sqrt{5}$+4．

点评 本题考查的是二次函数的最值问题，根据题意列出二次函数的解析式求出最值是解题的关键，注意最短路径问题即轴对称知识的正确运用．