Question

10．如图，抛物线y=-2x²+x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．
（1）求点A，B的坐标；
（2）证明：OP=PC．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式，易求得A、B的坐标；
（2）首先根据A、B的坐标，求出直线AB的解析式，设出点P的横坐标，利用直线AB的解析式，即可表示出P点的纵坐标，由此可得到MP、OM、PN的长，从而证得OM=PN，而∠OPC=90°，则∠OPM、∠PCN同为∠CPN的余角，再加上一组直角，即可由AAS判定△OPM≌△PCN，由此得证．

解答 解：（1）当x=0时，y=1，当y=0时，x=1或$x=-\frac{1}{2}$，
A（0，1），B（1，0）；
（2）∵A（0，1），B（1，0），
∴直线AB：y=-x+1；
设P（a，-a+1），则有：
PM=a，OM=1-a，PN=MN-PM=1-a，
故OM=PN；
∵∠OPC=90°，则∠OPM+∠CPN=∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠OPM=∠PCN；
在△OPM和△PCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OPM=∠PCN}\\{∠OMP=∠CPN=90°}\\{OM=PN}\end{array}\right.$
∴△OPM≌△PCN（AAS），
∴OP=CP．

点评 此题主要考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法、全等三角形的判定，利用数形结合的思想解决问题．