【题目】如图,在中,为上一点,以为圆心,长为半径作圆,与相切于点,过点作交的延长线于点,且.
(1)求证:为的切线;
(2)若, ,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)作OE⊥AB于点E,证明△OBC≌△OBE,根据全等三角形的对应边相等可得OE=OC, OE是⊙O的半径 ,OE⊥AB ,即可判定AB为⊙O的切线;
(2)根据题意先求出AO、BO的长,再证明△AOD∽△BOC,根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长.
(1)作OE⊥AB于点E,
∵切BC于点C,
∴OC⊥BC,∠ACB=90°,
∵ AD⊥BD,∴∠D=90°,
∴∠ABD+∠BAD =90°,∠CBD+∠BOC=90°,
∵∠BOC=∠AOD,∠AOD=∠BAD,
∴∠BOC=∠BAD,
∴∠ABD=∠CBD
在△OBC和△OBE中,
∴△OBC≌△OBE,
∴OE=OC,∴OE是⊙O的半径 ,
∵OE⊥AB ,∴AB为⊙O的切线;
(2) ∵tan∠ABC=,BC=6,
∴AC=8,∴AB= ,
∵BE=BC=6,∴AE=4,
∵∠AOE=∠ABC,∴tan∠AOE= ,∴EO=3,
∴AO=5,OC=3,∴BO=,
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD∽△BOC,∴ ,
即 ,∴AD= .
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【题目】农贸市场拟建两间长方形储藏室,储藏室的一面靠墙(墙长30m),中间用一面墙隔开,如图所示,已知建筑材料可建墙的长度为42m,则这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为_______m2.
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【题目】数学活动课上,王老师把分别写有,5,-2,0,的五张卡片分别发给五位同学,王老师要求同学们按照卡片上数字的特征挑选2人或者3人表演节目.
(1)王老师先给同学们做了范例,他说手拿卡片上数字为整数的同学表演节目,请你选出表演节目的同学;
(2)如果让你来挑选,你会按什么数字特征来选择表演节目的同学?
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【题目】如图,用棋子摆成一组“上”字:
如果按照以上规律继续摆下去,那么通过观察,可以发现:
(1)第个、第个图形中的“上”字分别需要用多少枚棋子?
(2)第个图形中的“上”字需要用多少枚棋子?
(3)七(3)班有名同学,能否让这名同学按照以上规律恰好站成一个“上”字?若能,请计算最下面一“横”的学生数;若不能,请说明理由.
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【题目】已知△ABC 是等腰直角三角形, BC AC ,ABC BAC ,直角顶点 C 在 x 轴上,一锐角顶点 B 在 y 轴上.
(1)如图①若 AD 于垂直 x 轴,垂足为点 D .点 C 坐标是 1, 0 ,点 A 的坐标是 3,1 , 求点 B 的坐标.
(2)如图②,直角边 BC 在两坐标轴上滑动,若 y 轴恰好平分 ABC , AC 与 y 轴交于点D ,过点 A 作 AE y 轴于 E ,请猜想 BD 与 AE 有怎样的数量关系,并证明你的猜想.
(3)如图③,直角边 BC 在两坐标轴上滑动,使点 A 在第四象限内,过 A 点作 AF y 轴于 F ,在滑动的过程中,两个结论①为定值;②为定值,只有一个结论成立,请你判断正确的结论加并求出定值.
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【题目】如图是本地区一种产品30天的销售图象,图1是产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位:天)的函数关系,图2是一件产品的销售利润z(单位,元)与时间t(单位:天)的函数关系,已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,下列正确结论的序号是____.
①第24天的销售量为200件;
②第10天销售一件产品的利润是15元;
③第12天与第30天这两天的日销售利润相等;
④第30天的日销售利润是750元.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点,将△CBE沿CE折叠,使点B落在矩形内点F处,下列结论正确的是_____(写出所有正确结论的序号)
①当E为线段AB中点时,AF∥CE;
②当E为线段AB中点时,AF=;
③当A、F、C三点共线时,AE=;
④当A、F、C三点共线时,△CEF≌△AEF.
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【题目】如图,以直线上一点为端点作射线,使,将一个直角三角形的直角顶点放在点处,(注,)
(1)如图①,若直角三角板的一边放在射线上,则______°;
(2)如图②,将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置,若恰好平分,求的度数;
(3)如图③,将直角三角板绕点转动,如果始终在的内部,试猜想和有怎样的数量关系?并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(a-1,a+b),B(a,0),且|a+b-3|+(a-2b)2=0,C为x轴上点B右侧的动点,以AC为腰作等腰三角形ACD,使AD=AC,∠CAD=∠OAB,直线DB交y轴于点P.
(1)求证:AO=AB;
(2)求证:△AOC≌△ABD;
(3)当点C运动时,点P在y轴上的位置是否发生改变,为什么?
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