Question

如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，-6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4

3

，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题,压轴题

分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，所以欲求∠BME的度数，需求∠CMA的度数．根据三角形外角定理进行解答即可；
（2）如图3，通过解直角△BOC来求BC的长度；
（3）需要分类讨论：①h＜2时，②2≤h＜2

3

时，③2

3

≤h≤6时，依此即可求解．

解答：解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，-6），点B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4

3

，
∴∠OCE=60°，
∴∠CMA=∠OCE-∠OAB=60°-45°=15°，
∴∠BME=∠CMA=15°；

（2）如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4

3

，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∵OB=6，
∴BC=4

3

；

（3）①h＜2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，
∵CD=4，DE=4

3

，AC=h，AN=NM，
∴CN=4-FM，AN=MN=4+h-FM，
∵△CMN∽△CED，
∴

CN

CD

=

MN

DE

，
∴

4-FM

4

=

4+h-FM

4 3

，
解得FM=4-

3 +1

2

h，
∴S=S_△EDC-S_△EGM
=

1

2

×4×4

3

-

1

2

（4

3

-4-h）×（4-

3 +1

2

h）
=-

3 +1

4

h²+4h+8，
S_最大=15-

3

．
②当2≤h＜2

3

时，
S=S_△AOB-S_△ACM=

1

2

×6×6-

1

2

h（h+

3 +1

2

h）=18-

3+ 3

4

h²，
S_最大=15-

3

．
③如图3，当2

3

≤h≤6时，
S=S_△OBC=

1

2

OC×

3

OC=

3

2

（6-h）²，
S_最大=14

3

-36．

点评：本题考查了相似综合题．此题综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理，难度较大．对于第（3）题这类有关于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．