Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=

3

，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）．
（1）用尺规作图作出△A′O′B；
（2）证明：点C、O、O′和A′四点共线；
（3）求OA+OB+OC的值．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；
（2）根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC；
（3）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=

3

，
∴tan∠ABC=

AC

BC

=

1

3

=

3

3

，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B⊥CB，
过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，
再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，
以点B为圆心，以BO为半径画弧，
两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，
即△A′O′B如图所示；

（2）证明：∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，

（3）在Rt△A′BC中，A′C=

BC2+A′B2

=

3 2+22

=

7

，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=

7

．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A′、O′四点共线是解题的关键．