Question

如图，CD是△ABC的高，∠A=22.5°，边AC的垂直平分线交AB于点E，EF⊥BC，交CD于点G，垂足为F．求证：DB=DG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：根据线段的垂直平分线的性质定理得出AE=EC，根据等边对等角得出∠ACE=∠A=22.5°，得出∠CED=45°，从而得出△CDE是等腰直角三角形，得出ED=CD，然后根据ASA求得△GED≌△BCD，即可证得DB=DG．

解答：证明：∵EN垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴∠ACE=∠A=22.5°，
∴∠CED=45°，
∵EF⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴ED=CD，
∵EF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠GED=∠BCD，
在△GED和△BCD中，

∠GED=∠BCD ED=CD ∠EDG=∠CDB=90°

，
∴△GED≌△BCD（ASA），
∴DB=DG．

点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．