Question

5．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B+∠EGC=180°时，求证：$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$；
（2）如图2，若∠BAD=90°，连接AC，使得CA平分∠BCD，tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，且DE⊥CF，试探究DE与CF的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）当∠B+∠EGC=180°时，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立，证△DFG∽△DEA，得出$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DF}{DG}$，证△CGD∽△CDF，得出$\frac{DF}{DG}$=$\frac{CF}{CD}$，即可得出答案；
（2）作BH⊥AC于H，AM⊥CD于M，CN⊥AD于N，则∠BHC=∠BHA=∠CNA=∠AMC=90°，由三角函数得出BH：CH=4：3，BH：AH=1：2，设BH=20，则CH=15，AH=40，AC=55，由三角函数和角平分线定义得出tan∠DCA=$\frac{AM}{CM}$=tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，得出AM=44，CM=33，证出∠ACN=∠BAC，得出tan∠ACN=$\frac{AN}{CN}$=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，设AN=x，则CN=2x，由勾股定理得出方程，解方程AN=11$\sqrt{5}$，CN=22$\sqrt{5}$，证明△ADE∽△NCF，得出对应边成比例$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{NC}$，再证明△CDN∽△ADM，得出$\frac{DN}{DM}=\frac{CN}{AM}=\frac{22\sqrt{5}}{44}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，设DN=$\sqrt{5}$a，则DM=2a，由△ACD的面积得出AD•CN=CD•AM，得出方程，解方程求出DN=11$\sqrt{5}$，得出AD=NC，即可得出结论．

解答 解：（1）当∠B+∠EGC=180°时，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DF}{DG}$，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴$\frac{DF}{DG}$=$\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$，
即当∠B+∠EGC=180°时，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立；
（2）DE=CF；理由如下：
作BH⊥AC于H，AM⊥CD于M，CN⊥AD于N，如图所示：
则∠BHC=∠BHA=∠CNA=∠AMC=90°，
∵tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴BH：CH=4：3，BH：AH=1：2，
设BH=20，则CH=15，AH=40，
∴AC=55，
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∴tan∠DCA=$\frac{AM}{CM}$=tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AM}{AC}═\frac{4}{5}$，$\frac{CM}{AC}=\frac{3}{5}$，
∴AM=$\frac{4}{5}$AC=44，CM=$\frac{3}{5}$AC=33，
∵∠BAD=90°，CN⊥AD，
∴CN∥AB，
∴∠ACN=∠BAC，
∴tan∠ACN=$\frac{AN}{CN}$=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
设AN=x，则CN=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=55²，
解得：x=11$\sqrt{5}$，
∴AN=11$\sqrt{5}$，CN=22$\sqrt{5}$，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ADE∽△NCF，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{NC}$，
∵∠CND=∠AMD=90°，∠CDN=∠ADM，
∴△CDN∽△ADM，
∴$\frac{DN}{DM}=\frac{CN}{AM}=\frac{22\sqrt{5}}{44}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
设DN=$\sqrt{5}$a，则DM=2a，
∵△ACD的面积=$\frac{1}{2}$AD•CN=$\frac{1}{2}$CD•AM，
∴AD•CN=CD•AM，
即22$\sqrt{5}$（11$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$a）=44（33+2a），
解得：a=11，
∴DM=22，DN=11$\sqrt{5}$，
∴AD=AN+DN=22$\sqrt{5}$，
∴AD=NC，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{NC}$=1，
∴DE=CF．

点评 本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要通过作辅助线运用勾股定理和两次证明三角形相似才能得出结论．