Question

10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）试证明△DFE是等腰直角三角形；
（3）如果AC=CB=6cm，设AD=CE=x，△DFE的面积为y，写出y与x的函数关系式．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中点，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可证明：△ADF≌△CEF；
（2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可证明△DFE是等腰直角三角形；
（3）利用（1）（2）的结论得到△DEF是等腰直角三角形，然后根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 证明：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中点，
∴∠ACF=∠FCB=45°，
即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，
在△ADF与△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠FCE}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；

（2）由（1）可知△ADF≌△CEF，
∴DF=FE，
∴△DFE是等腰三角形，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形；

（3）∵AC=6，AD=x，
∴CD=6-x，
∴DE²=CD²+CE²=DF²+EF²=2EF²，
∴EF²=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{1}{2}$[（6-x）²+x²]，
∵y=$\frac{1}{2}$EF•DF=$\frac{1}{2}$EF²=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$[（6-x）²+x²]，
即：y=$\frac{1}{2}$x²-3x+9．

点评 此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有点难度，属于中档题．