Question

2．下面一组图中的∠A都为70°．
（1）见图①，若BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，交点为D，求∠D的度数．
（2）见图②，若BD，CD分别平分∠ABC，∠ACE，交点为D，求∠D的度数．
（3）见图③，若BD，CD分别平分∠EBC，∠BCF，交点为D求∠D的度数．

Answer 1

分析 （1）首先根据三角形内角和是180°，求出∠ABC、∠ACB的度数和是多少；然后根据三角形的角平分线的性质，用∠ABC、∠ACB的度数和除以2，求出∠DBC、∠DCB的度数和是多少；最后用180°减去∠DBC、∠DCB的度数和，求出∠BDC的度数是多少即可；
（2）根据角平分线定义求出∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，根据三角形外角性质得出∠DCE=∠D+∠DBC，∠ACE=∠A+∠ABC，求出∠A=2∠D，即可得出答案；
（3）根据三角形外角性质求出2∠DCB+2∠DBC=∠A+∠ABC+∠A+ACB=180°+∠A，求出∠DCB+∠DBC，根据三角形内角和定理求出即可．

解答 解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，交点为D，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}×$110°=55°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=125°；

（2）∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACE，
∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，
∵∠DCE=∠D+∠DBC，∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠A=2∠D，
∵∠A=70°，
∴∠D=35°；

（3）∵BD，CD分别平分∠EBC，∠BCF，
∴∠FCB=2∠DCB，∠EBC=2∠DBC，
∵∠FCB=∠A+∠ABC，∠EBC=∠A+∠ACB，
∴2∠DCB+2∠DBC=∠A+∠ABC+∠A+ACB=180°+∠A=180°+70°=250°，
∴∠DCB+∠DBC=125°，
∴∠D=180°-125°=55°．

点评 此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确应用性质进行推理和计算是解此题的关键．