如图.直线AC∥BD.连接AB.直线AC.BD及线段AB把平面分成①.②.③.④四个部分.规定:线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时.连接PA.PB.构成∠PAV.∠APB.∠PBD三个角．(1)当动点P落在第①部分时.如图1.求证:∠APB=∠PAC+∠PBD,(2)当动点P落在第②部分时.∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?在图2中画� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAV、∠APB、∠PBD三个角．
（1）当动点P落在第①部分时，如图1，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？在图2中画出图形，若成立，写出推理过程，若不成立，直线写出这三个角之间的关系；
（3）当动点P落在第③部分时，延长BA，点P在射线BA的左侧和右侧时，分别探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间关系，在图3中画出图形，并直接写出相应的结论．

分析（1）延长AP交BD于M，根据三角形外角性质和平行线性质得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可；
（2）过P作EF∥AC，根据平行线性质得出∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，即可得出答案；
（3））①当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB，②当动点P在射线BA上时，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB（或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°），③当动点P在射线BA的左侧时，结论是：∠PAC=∠APB+∠PBD，根据三角形外角性质和平行线性质求出即可．

解答解：（1）延长AP交BD于M，如图1，

∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AMB，
∵∠APB=∠AMB+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，如图2，

理由是：过P作EF∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，
∴∠PAC+∠APF+∠PBD+∠BPF=360°，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
∴∠APB=360°-∠PAC-∠PBD，
∵∠APB≠180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．

（3）①当动点P在射线BA的右侧时，如图3，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB，

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PMC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
②当动点P在射线BA上时，如图4，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB（或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°），

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠PBD，
∵∠APB=0°，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB．
③当动点P在射线BA的左侧时，如图5，结论是：∠PAC=∠APB+∠PBD，

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PAC=∠APB+∠PMC，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

点评考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，用了分类讨论思想，考查对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．

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2	4	6	8	…
3	6	9	12	…
4	8	12	16	…
…	…	…	…	…

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15
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	a

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	16
	24
b

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