Question

19．如图，在平行四边形OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm，动点P从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OA-AB运动；动点Q同时从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OC-CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）填空：点C的坐标是（2，2$\sqrt{3}$），对角线OB的长度是4$\sqrt{7}$cm；
（2）设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大？

Answer 1

分析 （1）作CE⊥OA于E，根据锐角三角函数的概念求出OE、CE的长，求出点C的坐标，根据勾股定理求出BD的长；
（2）分当0＜t≤4时，当4≤t≤8时，当8≤t＜12时三种情况，根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）如图1，作CE⊥OA于E，BF⊥OA交x轴于F，
∵∠AOC=60°，OC=4cm，
∴OE=2cm，CE=2$\sqrt{3}$cm，
∴点C的坐标是（2，2$\sqrt{3}$），
∵OC∥AB，
∴∠BAF=∠AOC=60°，AB=OC=4cm，
∴AF=2cm，
∴OF=10cm，又BF=CE=2$\sqrt{3}$cm，
∴OB=$\sqrt{O{F}^{2}+B{F}^{2}}$=4$\sqrt{7}$cm，
故答案为：2；2$\sqrt{3}$；4$\sqrt{7}$；
（2）当0＜t≤4时，如图2，作QH⊥OA于H，
∵∠AOC=60°，OQ=t，
∴QH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
S=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²；
当4≤t≤8时，如图2，作QG⊥OA于G，
S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×t=$\sqrt{3}$t；
当8≤t＜12时，如图4，
延长QP交x轴于M，作PN⊥x轴于N，
∵BQ=12-t，BP=12-t，∠B=∠AOC=60°，
∴△BQP是等边三角形，则△PAM为等边三角形，
∵AP=t-8，∠BAM=60°，
∴PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-8），
△OQM的面积=$\frac{1}{2}$×t×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$t，
△OPM的面积=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-8）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t（t-8），
∴S=△OQM的面积-△OPM的面积=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+3$\sqrt{3}$t，
当0＜t≤4时，面积最大是4$\sqrt{3}$，
当4≤t≤8时，面积最大是8$\sqrt{3}$，
当8≤t＜12时，S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+3$\sqrt{3}$t，面积最大是8$\sqrt{3}$，此时t=8，
∴当t=8时，S的值最大．

点评 本题考查的是平行四边形的性质和函数的知识，掌握平行四边形的对边平行且相等以及等边三角形的性质、锐角三角函数的概念是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．