Question

9．已知正方形ABCD是一个正方形，E是BC上一点，F是CD上一点，∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接MF，求证：AM⊥MF，AM=MF．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠ADF=90°，∠ADM=∠FDM=45°，再由已知条件得出∠FDM=∠EAF，证出A、D、F、E四点共圆，由圆周角定理得出AF是直径，$\widehat{AM}÷\widehat{FM}$，得出∠AMF=90°，AM=MF，即可得出AM⊥MF．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=90°，∠ADM=∠FDM=45°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FDM=∠EAF，
∴A、D、F、E四点共圆，
∵∠ADF=90°，∠ADM=∠FDM，
∴AF是直径，$\widehat{AM}÷\widehat{FM}$，
∴∠AMF=90°，AM=MF，
∴AM⊥MF．

点评 本题考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．