【题目】如图,△ABC为⊙O的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD交AD于E,交AB于F,交⊙O于G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:AG2=AFAB;
(3)若⊙O的直径为10,AC=2 ,AB=4 ,求△AFG的面积.
【答案】
(1)解:PA与⊙O相切.理由:
连接CD,
∵AD为⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠D+∠CAD=90°,
∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,
∴∠PAC=∠D,
∴∠PAC+∠CAD=90°,
即DA⊥PA,
∵点A在圆上,
∴PA与⊙O相切
(2)解:证明:如图2,连接BG,
∵AD为⊙O的直径,CG⊥AD,
∴ = ,
∴∠AGF=∠ABG,
∵∠GAF=∠BAG,
∴△AGF∽△ABG,
∴AG:AB=AF:AG,
∴AG2=AFAB
(3)解:解:如图3,连接BD,
∵AD是直径,
∴∠ABD=90°,
∵AG2=AFAB,AG=AC=2 ,AB=4 ,
∴AF= = ,
∵CG⊥AD,
∴∠AEF=∠ABD=90°,
∵∠EAF=∠BAD,
∴△AEF∽△ABD,
∴ ,
即 ,
解得:AE=2,
∴EF= =1,
∵EG= =4,
∴FG=EG﹣EF=4﹣1=3,
∴S△AFG= FGAE= ×3×2=3.
【解析】(1)首先连接CD,由AD为⊙O的直径,可得∠ACD=90°,然后由圆周角定理,证得∠B=∠D,由已知∠PAC=∠B,可证得DA⊥PA,继而可证得PA与⊙O相切.(2)首先连接BG,易证得△AFG∽△AGB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得结论;(3)首先连接BD,由AG2=AFAB,可求得AF的长,易证得△AEF∽△ABD,即可求得AE的长,继而可求得EF与EG的长,则可求得答案.
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【题目】如图,一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上,它沿正东方向航行80海里后到达B处,此时灯塔C在它的北偏西55°方向上.
(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离(结果精确到0.1);
(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数).
(参考数据:sin55°≈0.819,cos55°≈0.574,tan55°≈1.428,tan42°≈0.900,tan35°≈0.700,tan48°≈1.111)
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【题目】某县为了了解初中生对安全知识掌握情况,抽取了50名初中生进行安全知识测试,并将测试成绩进行统计分析,绘制成了频数分布表和频数分布直方图(未完成). 安全知识测试成绩频数分布表
组别 | 成绩x(分数) | 组中值 | 频数(人数) |
1 | 90≤x<100 | 95 | 10 |
2 | 80≤x<90 | 85 | 25 |
3 | 70≤x<80 | 75 | 12 |
4 | 60≤x<70 | 65 | 3 |
(1)完成频数分布直方图;
(2)这个样本数据的中位数在第组;
(3)若将各组的组中值视为该组的平均成绩,则此次测试的平均成绩为;
(4)若将90分以上(含90分)定为“优秀”等级,则该县10000名初中生中,获“优秀”等级的学生约为人.
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【题目】(问题探究)
(1)如图①已知锐角△ABC,分别以AB、AC为腰,在△ABC的外部作等腰Rt△ABD和Rt△ACE,连接CD、BE,是猜想CD、BE的大小关系_____________ ;(不必证明)
(深入探究)
(2)如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形,点D在边BC上(不与B、C重合),连接EC,则线段 BC,DC,EC 之间满足的等量关系式为________________ ;(不必证明) 线段 AD2,BD2,CD2之间满足的等量关系,并证明你的结论;
(拓展应用)
(3)如图③,在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若 BD=9,CD=3,
求 AD 的长.
① ② ③
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【题目】对x,y定义一种新运算T,规定T(x,y)=(其中a,b是非零常数,且x+y≠0),这里等式右边是通常的四则运算.
如:T(3,1)=,T(m,﹣2)=.
(1)填空:T(4,﹣1)= (用含a,b的代数式表示);
(2)若T(﹣2,0)=﹣2且T(5,﹣1)=6.
①求a与b的值;
②若T(3m﹣10,m)=T(m,3m﹣10),求m的值.
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【题目】初中学生带手机上学,给学生带来了方便,同时也带来了一些负面影响.针对这种现象,某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法,统计整理并制作了如图的统计图:
(1)这次调查的家长总人数为人,表示“无所谓”的家长人数为人;
(2)随机抽查一个接受调查的家长,恰好抽到“很赞同”的家长的概率是;
(3)求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数.
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【题目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;
(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.
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【题目】某学校举行“社会主义核心价值观”知识比赛活动,全体学生都参加比赛,学校对参赛学生均给与表彰,并设置一、二、三等奖和纪念奖共四个奖项,赛后将获奖情况绘制成如下所示的两幅不完整的统计图,请根据图中所给的信息,解答下列问题:
(1)该校共有名学生;
(2)在图①中,“三等奖”所对应扇形的圆心角度数是;
(3)将图②补充完整;
(4)从该校参加本次比赛活动的学生中随机抽查一名.求抽到获得一等奖的学生的概率.
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【题目】如图,△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形,且AB=AC=5,A′B′=A′C′=3,若∠B+∠B′=90°,则△ABC与△A′B′C′的面积比为 .
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