Question

如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，弦AD与OB相交于点E，过点D的切线与OB的延长线相较于点C，且DE=DC，试探索∠A的大小，并证明你的结论．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：由半径OA⊥OB，过点D的切线与OB的延长线相较于点C，易证得∠AEO=∠DEC=∠EDC，即可证得EC=DC，又由DE=DC，可证得△DEC是等边三角形，继而求得答案．

解答：解：∠A=30°．
理由：∵半径OA⊥OB，
∴∠A+∠AEO=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵DC是⊙O的切线，
∴OD⊥DC，
∴∠ADO+∠EDC=90°，
∵∠AEO=∠DEC，
∴∠DEC=∠EDC，
∴EC=DC，
∵DE=DC，
∴EC=DE=DC，
即△CDE是等边三角形，
∴∠AEO=∠DEC=60°，
∴∠A=90°-∠AEO=30°．

点评：此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．