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【题目】如图,O是正△ABC内一点,OA=3OB=4OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;OO′的距离为4③∠AOB=150°④S四边形AOBO⑤SAOC+SAOB=.其中正确的结论是(  )

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

【答案】A

【解析】

证明△BO′A≌△BOC,又∠OBO′=60°,所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,故结论正确;由△OBO′是等边三角形,可知结论正确;在△AOO′中,三边长为345,这是一组勾股数,故△AOO′是直角三角形;进而求得∠AOB=150°,故结论正确;S四边形AOBO=SAOO+SOBO,可得结论错误;如图,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得ABAC重合,点O旋转至O″点.利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形,将SAOC+SAOB转化为SCOO+SAOO,计算可得结论正确.

由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°∴∠1=∠3

∵OB=O′BAB=BC

∴△BO′A≌△BOC,又∵∠OBO′=60°

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,

故结论正确;

如图,连接OO′

∵OB=O′B,且∠OBO′=60°

∴△OBO′是等边三角形,

∴OO′=OB=4

故结论正确;

∵△BO′A≌△BOC∴O′A=5

△AOO′中,三边长为345,这是一组勾股数,

∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°

故结论正确;

S四边形AOBO′=SAOO′+SOBO′=

故结论错误;

如图所示,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得ABAC重合,点O旋转至O″点.

易知△AOO″是边长为3的等边三角形,△COO″是边长为345的直角三角形,

SAOC+SAOB=S四边形AOCO″=SCOO″+SAOO″=

故结论正确.

综上所述,正确的结论为:①②③⑤

故选A

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