【题目】如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO;⑤S△AOC+S△AOB=.其中正确的结论是( )
A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③
【答案】A
【解析】
证明△BO′A≌△BOC,又∠OBO′=60°,所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,故结论①正确;由△OBO′是等边三角形,可知结论②正确;在△AOO′中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,故△AOO′是直角三角形;进而求得∠AOB=150°,故结论③正确;S四边形AOBO=S△AOO+S△OBO,可得结论④错误;如图②,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点O旋转至O″点.利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形,将S△AOC+S△AOB转化为S△COO+S△AOO,计算可得结论⑤正确.
由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3,
又∵OB=O′B,AB=BC,
∴△BO′A≌△BOC,又∵∠OBO′=60°,
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,
故结论①正确;
如图①,连接OO′,
∵OB=O′B,且∠OBO′=60°,
∴△OBO′是等边三角形,
∴OO′=OB=4.
故结论②正确;
∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.
在△AOO′中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,
∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,
故结论③正确;
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=,
故结论④错误;
如图②所示,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点O旋转至O″点.
易知△AOO″是边长为3的等边三角形,△COO″是边长为3、4、5的直角三角形,
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=,
故结论⑤正确.
综上所述,正确的结论为:①②③⑤.
故选A.
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【题目】如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为______.
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【题目】如图,在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作EO⊥BD,交BA延长线于点E,交AD于点F,若EF=OF,∠CBD=30°,BD=.求AF的长.
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【题目】如图,对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点,其中A点的坐标为(-3,0)。
(1)求点B的坐标;
(2)已知,C为抛物线与y轴的交点。
①若点P在抛物线上,且,求点P的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值。
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【题目】如图,已知中,,,点为的中点,如果点在线段上以的速度由点向点运动,同时,点在线段上由点向点运动.
(1)若点与点的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等?请说明理由;
(2)若点与点的运动速度不相等,当点的运动速度为多少时,能使与全等?
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【题目】如图,△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D为AB边上的一点,
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)若DE=13,BD=12,求线段AB的长.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出kx+b-<0时x的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标中,直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=12,点C的坐标为(-18,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,∠OFE=45°,求直线DE的解析式;
(3)求点D的坐标.
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【题目】已知直线l1:y=x+6与y轴交于点B,直线l2:y=kx+6与x轴交于点A,且直线l1与直线l2相交所形成的角中,其中一个角的度数是75°,则线段AB的长为______.
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