Question

15．已知如图1：抛物线y=ax²-x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，且过点$（{2，-\frac{3}{2}}）$；
（1）求出抛物线的解析式及点C坐标．
（2）点D为抛物线的顶点，点E（0，1），作直线BE交抛物线于另一点F，点K为点D关于直线BE的对称点，连接KE，求△KEF的面积．
（3）如图2，在（2）的条件下，将△FKE绕着点F逆时针旋转45°得到△FK′E′，点M、N分别为线段FE、BA上的动点，动点M以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度从F向E运动，动点N以每秒1个单位长度的速度从B向A运动，M、N同时出发，连接ME′，当点N到达A点时，M、N同时停止运动，设运动时间为t秒．在此运动过程中，是否存在时间t，使得点N在线段ME′的垂直平分线上？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴公式以及点$（{2，-\frac{3}{2}}）$代入，列出方程组解决．
（2）要求△KEF的面积只要知道EF以及边EF上的高，通过证明发现这个高就是线段BK，由此可以解决问题．
（3）求出点E′坐标，根据MN=NE′列出方程解决．

解答 解：（1）由题意：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-1}{2a}=1}\\{4a-2+c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，点C（0，-$\frac{3}{2}$）．
（2）如图1中，FP⊥x轴，DH⊥OA垂足分别为P、H，连接BD、KB．
令y=0得$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=0解得x=-1或3，所以B（-1，0），A（3，0），
设直线BE为：y=kx+b，
∵y=kx+b经过点B（-1，0），E（0，1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线BE为y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴点F坐标（5，6），
∴PB=PF=6，∠FBP=45°，
∵抛物线顶点D（1，-2），
∴BH=DH=2，
∴∠HBD=∠HDB=45°，
∴∠DBF=90°，
∴DB⊥BE，
∵D、K关于直线BE对称，
∴K、B、D共线，
∴KB=BD=$\sqrt{B{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵EF=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴S_△EFK=$\frac{1}{2}$•EF•KB=$\frac{1}{2}$$•5\sqrt{2}•2\sqrt{2}$=10．
（3）存在．理由如下：
如图2中，由（1）可知∠BFP=∠FBP=45°，
∵EF=5$\sqrt{2}$，△FE′K′是由△FEK逆时针旋转45°得到，
∴点E′在直线FP上，
∴E′（5，5$\sqrt{2}$-6），
∵点N在ME′的垂直平分线上，
∴NM=NE，
∵点N坐标（t-1，0），点M坐标（5-t，6-t），
∴（t-1-5+t）²+（6-t）²=（5-t+1）²+（5$\sqrt{2}$-6）²，
∴t=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$或6-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查二次函数、一次函数的有关性质、等腰三角形的性质、旋转不变性等知识，利用特殊三角形（等腰直角三角形）是解决本题的关键．