Question

4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠C；
②AE+BF=EF；
③当∠C=90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD=a，CE+CF=2b，则S_△CEF=ab．
其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④．

解答 解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB
=180°-$\frac{1}{2}$∠CBA-$\frac{1}{2}$∠CAB
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠C）
=90°+$\frac{1}{2}$∠C，①正确；
∵EF∥AB，
∴∠FOB=∠ABO，又∠ABO=∠FBO，
∴∠FOB=∠FBO，
∴FO=FB，
同理EO=EA，
∴AE+BF=EF，②正确；
当∠C=90°时，AE+BF=EF＜CF+CE，
∴E，F分别是AC，BC的中点，③错误；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OD=OH，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$×CF×OD$+\frac{1}{2}$×CE×OH=ab，④正确．
故选：C．

点评 本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．