Question

【题目】如图，等边△ABC中，AM为边BC上的中线，动点D在直线AM上，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，设直线BE与直线AM的交点为O．

（1）如图1，点D在线段AM上时，填空：

①线段AD与BE的数量关系是　 　②∠AOB的度数是　 　．

（2）如图2，当动点D在线段MA的延长线上时，试判断（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请写出新的结论，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①AD＝BE；②60°；（2）成立，理由见解析

【解析】

（1）①证明△ACD≌△BCE即可．

②先证明∠CAM=30°，由△ACD≌△BCE得∠OBM=∠CAM=30°，由此即可解决问题．

（2）结论不变．证明方法类似（1）．

（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

故答案为：AD＝BE；

②∵BM＝CM，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，

∴∠AMC＝∠MBO＝90°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠OBM＝∠CAM＝30°，

∵∠OBM+∠BOM＝90°

∴∠AOB＝60°；

故答案为：60°；

（2）（1）中的结论成立，理由如下：

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵BM＝CM，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，

∴∠AMC＝∠MBO＝90°，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，

∴∠OBM＝∠CAM＝30°，

∴∠AOB＝90°﹣∠OBM＝60°．