Question

如图，长度为2的动线段AB在x轴上向右移动，设A（x，0），其中x＞0，线段AB关于射线l：y=

3

3

x的对称线段为CD，过M（0，2

3

）画平行于x轴的直线MN与射线l交于点P．
（1）请直接写出结论：
①点P坐标

 

；
②当MN平分线段CD时，x=

 

；
（2）若线段CD被直线MN分为1：2两部分，求x的值；
（3）设梯形ABDC在直线MN下方部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并探究当线段AB在运动过程中y是否存在最大值？若有，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）①P和M的纵坐标相等，再把纵坐标代入射线l的解析式可求得P点的坐标；②由对称可知O、C、D三点在一条直线上，连接OC，可求得∠POB=∠POD=30°，设CD交MN于点E，在Rt△OME中可求出OE，再用x表示出OE，可解出x的值；
（2）方法同（1）的②；
（3）设DB交MN于点F，可知△OCA、△ODB和△DEF均为等边三角形，则可表示出△OCA、△DEF、△ODB的面积，得出y与x的关系式，再利用函数的性质求最值．

解答：
解：
（1）①因为MN平行x轴，所以P点的纵坐标为2

3

，把y=2

3

代入解析式y=

3

3

x可求得x=6，所以P点坐标为（6，2

3

），故答案为：（6，2

3

）；
②由对称的性质可知O、C、D三点在一条直线上，连接OC，
因为tan∠POB=

2 3

6

=

3

3

，所以∠POB=∠DOP=∠DOM=30°，
设MN交CD于点E，则CE=

1

2

CD=

1

2

AB=

1

2

×2=1，且OC=OA=x，所以OE=x+1，
在Rt△OME中，cos∠EOM=

OM

OE

=

3

2

，即

2 3

x+1

=

3

2

，解得x=3，
故答案为：3；
（2）在Rt△OME中，cos∠EOM=

OM

OE

=

3

2

，
分两种情况：当CE=2ED时，可知CE=

4

3

，则OE=x+

4

3

，代入上式可得：

2 3

x+ 4 3

=

3

2

，解得x=2

2

3

，
当CE=

1

2

ED时，可知CE=

2

3

，则OE=x+

2

3

，代入上式可得：

2 3

x+ 2 3

=

3

2

，解得x=3

1

3

；
综上可知x的值为2

2

3

或3

1

3

；
（3）存在，最大值为4

3

．
设MN交BD于点F，由（1）可知∠COA=60°，且OC=OA，OD=AB，所以△OAC和△OBD都为等边三角形，
又因为MN平行x轴，所以△DEF也为等边三角形，
在RtRt△OME中，可求得OE=4，且OA=x，OB=x+2，所以DE=OD-OE=OB-OE=x+2-4=x-2，
所以S_△OBD=

3

4

OB²，S_△OCA=

3

4

OA²，S_△DEF=

3

4

DE²，
所以y=S_△OBD-S_△OCA-S_△DEF=

3

4

OB²-

3

4

OA²-

3

4

DE²=

3

4

（x+2）²-

3

4

x²-

3

4

（x-2）²=-

3

4

x²+2

3

x=-

3

4

（x-4）²+4

3

，
所以当x=4时，y有最大值，最大值为4

3

．

点评：本题主要考查一次函数与对称的性质的应用，在（1）（2）中用x表示出CE的长度是解题的关键，在（3）中同上条件得出△OCA、△DEF、△ODB都是正三角形是解题的关键．