Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为AC上一点，连接BD，在边BC上取点E，使∠EDC=∠ADB，过E作EF⊥BD于K，交直线AB于F．
（1）如图①，求证：BF=2AD；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接AE．交BD于M，若ED=2EF，请您探究线段AM与ME之间的数量关系，并证明您的结论．

Answer 1

分析 （1）作BG∥AC，交DE延长线于G点，作DH⊥BG，交BG于H；然后判断出△BEF≌△BEG，可得BF=BG，再判断出△DBG是等腰三角形，四边形ABHD是矩形，所以AD=BH=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$BF，因此BF=2AD；
（2）如图，作EN∥BG，交BD于N，因为△BEF≌△BEG，所以EF=EG，然后根据ED=2EF，可得ED=2EG；再判断出EN与AD的关系，即可判断出AM与ME之间的数量关系．

解答 （1）证明：如图，作BG∥AC，交DE延长线于G点，作DH⊥BG，交BG于H．
∵EF⊥BD，
∴∠BFE=∠ADB=∠DBG=∠EDC．
∵∠G=∠EDC，
∴∠DBG=∠BFE=∠G．
∵∠EBF=∠EBG=45°，
∴△BEF≌△BEG，BF=BG．
∵∠DBG=∠G，
∴DB=DG．
∵DH⊥BG，
∴BH=GH．
∵BG∥AC，
∴ABHD是矩形，
∴AD=BH=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$BF．
∴BF=2AD．
（2）如图，作EN∥BG，交BD于N，
∵△BEF≌△BEG，
∴EF=EG．
∵ED=2EF，∴ED=2EG．
∴$\frac{EN}{BG}=\frac{DE}{DG}=\frac{2}{3}$，BG=2AD，
∴$\frac{EN}{AD}=\frac{2×2}{3}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AM}{ME}=\frac{AD}{EN}=\frac{3}{4}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：△BEF≌△BEG．