Question

10．有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动，
（1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t；
（2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7，求时间t．

Answer 1

分析 （1）在等腰三角形PQR中，由PQ=PR=5cm，QR=8cm，根据相似三角形的性质表示出三角形的面积即可求出；
（2）利用相似三角形的性质得出各边长，进而根据三角形的面积公式即可求解．

解答 解：过点P作PM⊥QR于点M，
∵PQ=PR=5cm，QR=8cm，
∴QM=MR=4cm，则PM=3cm，
（1）如图1，当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5时，
即S_△ECQ=5cm²，
由题意知，△QEC∽△QPM，
则$\frac{EC}{PM}$=$\frac{QC}{QM}$，
即$\frac{EC}{3}$=$\frac{t}{4}$，
故EC=$\frac{3}{4}$t，
∴$\frac{1}{2}$t•$\frac{3}{4}$t=5，
解得：t=$\frac{2\sqrt{30}}{3}$（负数舍去），
故$\frac{2\sqrt{30}}{3}$秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5．
同理可得：当RB=$\frac{2\sqrt{30}}{3}$cm时正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5
故（5-$\frac{2\sqrt{30}}{3}$）秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，
综上所述：t=$\frac{2\sqrt{30}}{3}$s或（5-$\frac{2\sqrt{30}}{3}$）秒时正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5；

（2）由题意可得：S_△PQM=$\frac{1}{2}$×4×3=6（cm²），
故当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7时，
则如图2所示：QC=t，则RC=8-t，QB=t-5，
故由（1）得：NB=$\frac{3}{4}$（t-5），MC=$\frac{3}{4}$（8-t）
可得S_{五边形NBCMP}=S_△PQR-S_△NQB-S_△MCR
=12-$\frac{1}{2}$×（8-t）×$\frac{3}{4}$（8-t）-$\frac{1}{2}$（t-5）×$\frac{3}{4}$（t-5）=7，
解得：t₁=$\frac{39+\sqrt{159}}{6}$，t₂=$\frac{39-\sqrt{159}}{6}$，
故$\frac{39+\sqrt{159}}{6}$秒或$\frac{39-\sqrt{159}}{6}$秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7．

点评 此题考查了一元二次方程的应用、正方形的性质、等腰三角形的性质、图形面积的求法等知识，利用相似三角形的性质得出各边长是解答此题的关键．