Question

【题目】如图，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是边AC上一点（D与A、C不重合），过点A作AE垂直AC，求满足AE=CD，联结DE交边AB于点F.

（1）试判断△DBE的形状，并证明你的结论.

（2）当点D在边AC上运动时，四边形ADBE的面积是否发生变化？若不变，求出四边形ADBE的面积；若改变，请说明理由.

（3）当△BDF是等腰三角形时，请直接写出AD的长.

Answer 1

【答案】（1）△DBE是等腰直角三角形，证明见解析；（2）不变；2；（3）或2．

【解析】

（1）根据在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2可得出∠CAB=∠ACB=45°，再由AE⊥AC可得出∠EAC=90°，故可得出∠BAE=45°，由SAS定理可得出△CBD≌△ABE，故可得出BD=BE，由此可得出结论；

（2）根据（1）中△CBD≌△ABE可知四边形ADBE的面积不变，再由三角形的面积公式即可得出结论；

（3）分两种情况分别讨论即可求得．

（1）△DBE是等腰直角三角形．

理由：∵∠ABC=90°，AB=BC=2，

∴∠CAB=∠ACB=45°．

∵AE⊥AC，

∴∠EAC=90°，

∴∠BAE=45°．

在△CBD与△ABE中，

∵，

∴△CBD≌△ABE（SAS），

∴BD=BE，∠CBD=∠ABE，

∵∠CBD+∠ABD=90°，

∴∠ABE+∠ABD=90°，

即∠BDE=90°，

即△DBE是等腰直角三角形；

（2）不变．

∵由（1）知△CBD≌△ABE，

∴S四边形ADBE=S△ABC=×2×2=2；

（3）当BF=DF时，则∠BDE=∠FBD，

∵△DBE是等腰直角三角形，

∴∠BDE=45°，

∴∠FBD=45°

∴∠CBD=45°，

∴∠CBD=∠ABD，

∴AD=CD，

∴AD=AC，

∵AB=BC=2，

∴AC=2

∴AD=；

当BD=DF时，

∵△ABC是等腰直角三角形，△BDE是等腰直角三角形，

∴∠C=∠CAB=45°，∠BDE=∠BED=45°，

∴∠C=∠BDE，

∵∠ADB=∠C+∠CBD=∠BDE+∠FDA，

∴∠CDB=∠ADF，

在△BCD和△DAF中

∴△BCD≌△DAF（AAS），

∴AD=BC=2．

∴当△BDF是等腰三角形时，AD的长为或2．