Question

11．探究：如图1，AB∥CD∥EF，点G、P、H分别在直线AB、CD、EF上，连接PG、PH，当点P在直线GH的左侧时．试说明∠AGP+∠EHP=∠GPH．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程，并填空（理由或数学式）

解：∵AB∥CD（已知）
∴∠AGP=∠GPD，
∵CD∥EF，
∴∠DPH=∠EHP（两直线平行，内错角相等）
∵∠GPD+∠DPH=∠GPH
∴∠AGP+∠EHP=∠GPH（等量代换）．
探究：当点P在直线GH的右侧时，其他条件不变，如图2，试探究∠AGP、∠EHP、∠GPH之间的关系，并说明理由．
应用：点P是直线CD上一动点，且不在直线GH上，其他条件不变，若∠GPH=70°，则∠AGP+∠EHP=70°或290°．

Answer 1

分析 由于AB∥CD是条件，因此理由是“已知”，由于∠DPH与∠EHP内错角，因此由CD∥EF推出∠DPH=∠EHP的理由是“两直线平行，内错角相等”，由∠GPD+∠DPH=∠GPH得到∠AGP+∠EHP=∠GPH，是将∠GPD换成∠AGP，将∠DPH换成∠EHP，因此理由是“等量代换”；
探究：只需运用平行线的性质就可解决问题；
应用：只需运用探究得到的结论就可解决问题．

解答 解：∵AB∥CD（已知）
∴∠AGP=∠GPD，
∵CD∥EF，
∴∠DPH=∠EHP（两直线平行，内错角相等）
∵∠GPD+∠DPH=∠GPH
∴∠AGP+∠EHP=∠GPH（等量代换）．
故答案分别为：已知；两直线平行，内错角相等；等量代换．

探究：当点P在直线GH的右侧时，其他条件不变，如图2，∠AGP+∠EHP+∠GPH=360°．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AGP+∠GPC=180°，
∵CD∥EF，
∴∠CPH+∠EHP=180°，
∴∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP=360°，即∠AGP+∠GPH+∠EHP=360°；

应用：①当点P在直线GH的左侧时，则有∠AGP+∠EHP=∠GPH．
若∠GPH=70°，则∠AGP+∠EHP=70°；
②当点P在直线GH的右侧时，则有∠AGP+∠EHP+∠GPH=360°．
若∠GPH=70°，则∠AGP+∠EHP=360°-70°=290°．
综上所述：若∠GPH=70°，则∠AGP+∠EHP=70°或290°．
故答案为70°或290°．

点评 本题主要考查的平行线的性质、证明的格式等知识，运用分类讨论的思想是解决应用的关键．