Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．

（1）求证：△AFO≌△CEB；

（2）若BE＝4，CD＝8，求：

①⊙O的半径；

②求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①8；②

【解析】

（1）根据垂径定理知BC＝BD，再利用圆周角定理知∠A＝∠DCB，而∠AFO＝∠CEB，故可证明△AFO≌△CEB；（2）①利用垂径定理得出CE=4，设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，根据勾股定理可得r2＝（r﹣4）2+（4）2，即可求出r；②根据阴影部分等于扇形OABD的面积减去△CDO的面积即可求出.

（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，

∴BC＝BD，

∴∠A＝∠DCB，

∴OF⊥AC，

∴∠AFO＝∠CEB，

∵BE＝OF，

∴△AFO≌△CEB（AAS）．

（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，

∴CE＝CD＝4

设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，

∴r2＝（r﹣4）2+（4）2

∴r＝8．

②连结 OD．

∵OE＝4＝OC，

∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，

∴∠COD＝120°，

∵△AFO≌△CEB，

∴S△AFO＝S△BCE，

∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD

＝﹣

＝﹣16.