Question

【题目】问题情境：如图1，在等边△ABC中，点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数？

小明在解决这个问题时，想到了以下思路：如图2，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连结DP．

请你在小明的思路提示下，求出∠APC的度数．

思路应用：如图3，△ABC为等边三角形，点P在△ABC外，且PA=6，PC=8，∠APC=30°，求PB的长；

思路拓展：如图4，矩形ABCD中，AB=BC，P为矩形ABCD内一点，PA：PB：PC=2：1：2，则∠APB=　 　°．（直接填空）

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】试题分析：问题情境，如图2中，只要证明△ADP为等边三角形，∠BDP=90°；

思路应用，如图，把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，只要证明△DAP是等边三角形，∠PDB=90°，即可解决问题；

思路拓展，如图4中，连接AC．作点P关于AB的对称点P1，点P关于BC的对称点P3，点P关于AC的对称点P2，连接AP1、P1B、P2A、P2C、P3B、P3C．只要证明△P1AP2是等边三角形，∠p2p1p3=90°，即可解决问题.

试题解析：问题情境，解：如图2中，

由旋转不变性可知，AD=AP=3，BD=PC=4，∠DAB=∠PAC，

∴∠DAP=∠BAC=60°，∴△ADP为等边三角形，

∴DP=PA=3，∠ADP=60°．

在△BDP中，DP=3，BD=4，PB=5，

∵32+42=52，∴∠BDP=90°，

∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=60°+90°=150°，

∴∠APC=150°．

思路应用，解：如图，把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，

如图3中，∴△APC≌△ADB，

∴∠DAP=60°，AD=AP=6，DB=PC=8，∠PAC=∠DAB，∠ADB=∠APC=30°．

∴△DAP是等边三角形，

∴PD=6，∠ADP=60°，∴∠PDB=90°，∴PB2=PD2+DB2=62+82=100．

∴PB=10．

思路拓展，解：如图4中，连接AC．作点P关于AB的对称点P1，点P关于BC的对称点P3，点P关于AC的对称点P2，连接AP1、P1B、P2A、P2C、P3B、P3C．

∵∠ABC=90°AB=BC，∴tan∠BAC=，

∴∠BAC=30°，∠ACB=60°，根据对称性易知∠P1AP2=60°，P1A=P2A，∴△P1AP2是等边三角形，

∴∠AP1P2=60°，P1P2=PA=2，

根据对称性易知P1、B、P3共线，P1P3=2，△CP2P2的顶角为120°的等腰三角形，可得P2P3=2，

∴P1P22+p1p32=p2p32，∴∠p2p1p3=90°，∴∠APB=∠AP1B=90°+60°=150°．故答案为150．