Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．

（1）求证：EC是⊙O的切线；

（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；

（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解．

解：（1）连接OC，

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵DE⊥AB，

∴∠OBC+∠DFB＝90°，

∵EF＝EC，

∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，

∴∠OCB+∠ECF＝90°，

∴OC⊥CE，

∴EC是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OB＝5，

∴AB＝10，

∴AC＝＝＝6，

∵cos∠ABC＝，

∴，

∴BF＝5，

∴CF＝BC﹣BF＝3，

∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，

∴∠BFD＝∠A，

∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，

∴△OAC∽△ECF，

∴，

∴EC＝＝＝．