【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,D是AB上的一点,DE⊥AB于D,DE交BC于F,且EF=EC.
(1)求证:EC是⊙O的切线;
(2)若BD=4,BC=8,圆的半径OB=5,求切线EC的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)连接OC,由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF=90°,可证EC是⊙O的切线;
(2)由勾股定理可求AC=6,由锐角三角函数可求BF=5,可求CF=3,通过证明△OAC∽△ECF,可得,可求解.
解:(1)连接OC,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB,
∵DE⊥AB,
∴∠OBC+∠DFB=90°,
∵EF=EC,
∴∠ECF=∠EFC=∠DFB,
∴∠OCB+∠ECF=90°,
∴OC⊥CE,
∴EC是⊙O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OB=5,
∴AB=10,
∴AC==
=6,
∵cos∠ABC=,
∴,
∴BF=5,
∴CF=BC﹣BF=3,
∵∠ABC+∠A=90°,∠ABC+∠BFD=90°,
∴∠BFD=∠A,
∴∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC,
∴△OAC∽△ECF,
∴,
∴EC==
=
.
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【题目】如图,抛物线过点
,顶点
在第三象限,
,
是抛物线的对称轴
上的两点,且
,在直线
左侧以
为边作正方形
,点
恰好在抛物线上.
(1)用含的式子表示
;
(2)求证:点和点
关于直线
对称;
(3)判断直线和直线
(
是常数,且
)的交点是否在抛物线上,并说明理由.
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【题目】某水果店3月份购进甲种水果50千克、乙种水果80千克,共花费1700元,其中甲种水果以15元/千克,乙种水果以20元/千克全部售出;4月份又以同样的价格购进甲种水果60千克、乙种水果40千克,共花费1200元,由于市场不景气,4月份两种水果均以3月份售价的8折全部售出.
(1)求甲、乙两种水果的进价每千克分别是多少元?
(2)请计算该水果店3月和4月甲、乙两种水果总赢利多少元?
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【题目】某中学八年级学生在寒假期间积极抗击疫情,开展老师“在你身边”评星活动,学生可以从“自理星” 、“读书星”、“健康星”、“孝敬星”、“ 劳动星”等中选一个项目参加争星竞选,根据该校八年级学生的“争星”报名情况,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题:
(1)参加年级评星的学生共有________人;将条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数是________;
(3)若八年级1班准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名代表班级参加学校的“劳动星” 报名,请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率.
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【题目】阅读理解:对于x3﹣(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式:
x3﹣(n2+1)x+n=x3﹣n2x﹣x+n=x(x2﹣n2)﹣(x﹣n)=x(x﹣n)(x+n)﹣(x﹣n)=(x﹣n)(x2+nx﹣1).
理解运用:如果x3﹣(n2+1)x+n=0,那么(x﹣n)(x2+nx﹣1)=0,即有x﹣n=0或x2+nx﹣1=0,
因此,方程x﹣n=0和x2+nx﹣1=0的所有解就是方程x3﹣(n2+1)x+n=0的解.
解决问题:求方程x3﹣5x+2=0的解为_____.
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【题目】如图,△ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,D为边AB上一动点(不与A、B重合),⊙D与BC切于E点,E点关于CD的对称点F在△ABC的一边上,则BD=______.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点;一次函数
(
)的图像为直线
.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)当1≤x≤2时,≤
≤
,试说明:抛物线G的顶点不在直线
上;
(3)设,直线
与线段AC交于D点,与y轴交于E点,与抛物线G的对称轴交于F 点,当A、C两点到直线
距离相等时,是否存在整数n,使F点在直线BE的上方?若存在,求n的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,是
的直径,点
在
上,点
为弦
的中点,射线
与圆周及切线
分别交于点
和点
,连接
.
(1)求证:直线是
的切线;
(2)若直径,填空:①连接
,当
_________
时,四边形
是菱形;
②当________时,四边形
是正方形.
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