Question

12．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由C是$\widehat{AB}$的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；
（2）由OB=2，可得AB=BD=4，由勾股定理得到AD═4$\sqrt{2}$，由等腰三角形的性质得到AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，即可求得△ABC的周长．

解答 （1）证明：连接OC，
∵C是$\widehat{AB}$的中点，AB是⊙O的直径，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴OC∥BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；

（2）解：∵OB=2，
∴AB=BD=4，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴AC=$\frac{1}{2}$AD=2$\sqrt{2}$，BC=$\frac{1}{2}$AD=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=4+4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了垂径定理，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握切线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．