Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：
对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．

（1）如图，⊙O的半径为1，
①已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；若点P在直线x=2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数 ；
（2）在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标．
（3）若点P在直线y=﹣ x+2上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标xP的取值范围．
（4）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，﹣1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标xC的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）60o
（2）解: ∵点B关于⊙O的视角为60°，

∴BM与⊙O相切，且∠MBO=30°，

∴点B在以O为圆心，2为半径的圆上，即OB=2，

∵B（m，m） （m＞0），

∴OB= = m=2，

∴m=

∴B（ ， ）；

（3）解: 如图3，

∵点P关于⊙O的“视角”大于60°，

∴∠MPO＞30°，

∴sin∠MPO= ＞sin30°，

∴OP＜2，

∵点P不在⊙C上，

∴1＜OP＜2

∴点P在以O为圆心，1为半径与2为半径的圆环内，

∵点P在直线y= x+2上，

由图4，

可得xp=0或xP=

∴0＜xP＜

（4）解: 如图5，

①当点C在x轴正半轴时，

在线段EF上取一点P，当PM，PN都与⊙C相切时，∠MPN最大，当∠MPN=120°时，连接CP，

∴∠CPM=60°，

在Rt△PCM中，CM=1，sin∠CPM= = = ，

∴CP= ，

∵线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，

∴点P和原点O重合时，视角只要小于120°时，即可，OP最大=CP= ，

此时，满足条件的xC

②当点C在x轴负半轴时，同①可得，xC＜﹣ ，

即：满足条件的xC 或xC＜﹣

【解析】（1）解: 画如图1所示，

如图2，当∠MPN最大时，此时PM与PN与⊙O相切，

∵⊙O的半径为r=1，

∴sin∠MPO= ，

当OP最小时，此时sin∠MPO最大，即∠MPO最大，

∴sin∠MPO= ，

∴∠MPO=30°

∴∠MPN=2∠MPO=60°；