【题目】如图1,已知矩形ABCD,E为AD边上一动点,过A,B,E三点作⊙O,P为AB的中点,连接OP,
(1)求证:BE是⊙O的直径且OP⊥AB;
(2)若AB=BC=8,AE=6,试判断直线DC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)如图2,若AB=10,BC=8,⊙O与DC边相交于H,I两点,连结BH,当∠ABE=∠CBH时,求△ABE的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)相切,理由见解析;(3)25
【解析】试题分析:(1)利用矩形的性质以及平行线分线段成比例定理得出OP∥AE,AE=2PO,即可得出答案;
(2)首先延长PO交CD于M,求出MO的长等于半径,进而得出答案;
(3)根据题意当∠1=∠2时,可得出tan∠1=tan∠2=tan∠4,设AE=x,CH=y,则DE=8﹣x,DH=10﹣y,可得==,求出x的值,即可得出答案.
解:(1)如图1,
∵矩形ABCD,∴∠A=90°,∴BE为直径,
∴OE=OB,
∵AP=BP,
∴OP∥AE,AE=2PO,
∴∠OPB=∠A=90°,
即OP⊥AB.
(2)此时直线CD与⊙O相切.
理由:如图1,延长PO交CD于M,
在Rt△ABE中,AB=8,AE=6,
则BE2=62+82=100,
∴BE=10,
∴此时⊙O的半径r=5,∴OM=r=5,
∵在矩形APMD中,PM=AD=8,
∴OM=PM﹣OP=5=r,
∴直线CD与⊙O相切.
(3)如图2,
方法I:
∵BE为直径,
∴∠EHB=90°,
∴∠3+∠4=90°,
∵∠C=90°,
∴∠3+∠2=90°,
∴∠2=∠4,
∴当∠1=∠2时,有
tan∠1=tan∠2=tan∠4,
设AE=x,CH=y,则DE=8﹣x,DH=10﹣y,
∴==,
解得,x=20,或x=5,
∵AE=x<8,∴x=20,不合题意,舍去,取AE=x=5,
Rt△ABE的面积=AE×AB=×5×10=25
方法II:如图3,延长PO交CD于点F,连接OH,
在矩形FPBC,OP⊥AB,且FC=PB=AB=5,
OP=AE,OF=8﹣AE,BE=2HO,
当∠ABE=∠CBH时,设tan∠ABE=tan∠CBH=k时,
在Rt△ABE中,则AE=10tan∠ABE=10k,
在Rt△HBC中,则HC=8tan∠ABE=8k,
∴OP=5k,OF=8﹣5k,FH=5﹣8k,
在Rt△ABE中,BE2=AE2+AB2=100(1+k2),
在Rt△OFH中,HO2=FH2+OF2=(5﹣8k)2+(8﹣5k)2,
∵BE=2HO,∴BE2=4 HO2
∴100(1+k2)=4[(5﹣8k)2+(8﹣5k)2],
整理得,2 k2﹣5k+2=0,
解得,k=2,或k=,
当k=2时,AE=10k=20>8,不合题意,舍去;
当k=时,AE=10k=5<8,符合题意,
此时,Rt△ABE的面积=AE×AB=×5×10=25.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,将点(-2,-3)向上平移3个单位长度,则平移后的点的坐标为( )
A. (-2,0) B. (-2,1) C. (0,-2) D. (1,-1)
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