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【题目】如图1,已知矩形ABCDEAD边上一动点,过ABE三点作⊙OPAB的中点,连接OP

(1)求证:BE是⊙O的直径且OPAB

(2)若AB=BC=8,AE=6,试判断直线DC与⊙O的位置关系,并说明理由;

(3)如图2,若AB=10,BC=8,⊙ODC边相交于HI两点,连结BH,当∠ABE=∠CBH时,求△ABE的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)相切,理由见解析;(3)25

【解析】试题分析:(1)利用矩形的性质以及平行线分线段成比例定理得出OPAEAE=2PO,即可得出答案;

2)首先延长POCDM,求出MO的长等于半径,进而得出答案;

3)根据题意当∠1=2时,可得出tan1=tan2=tan4,设AE=xCH=y,则DE=8xDH=10y,可得==,求出x的值,即可得出答案.

解:(1)如图1

∵矩形ABCD∴∠A=90°BE为直径,

OE=OB

AP=BP

OPAEAE=2PO

∴∠OPB=A=90°

OPAB

2)此时直线CD与⊙O相切.

理由:如图1,延长POCDM

RtABE中,AB=8AE=6

BE2=62+82=100

BE=10

∴此时⊙O的半径r=5OM=r=5

∵在矩形APMD中,PM=AD=8

OM=PMOP=5=r

∴直线CD与⊙O相切.

3)如图2

方法I

BE为直径,

∴∠EHB=90°

∴∠3+4=90°

∵∠C=90°

∴∠3+2=90°

∴∠2=4

∴当∠1=2时,有

tan1=tan2=tan4

AE=xCH=y,则DE=8﹣xDH=10﹣y

==

解得,x=20,或x=5

AE=x8x=20,不合题意,舍去,取AE=x=5

RtABE的面积=AE×AB=×5×10=25

方法II:如图3,延长POCD于点F,连接OH

在矩形FPBCOPAB,且FC=PB=AB=5

OP=AEOF=8AEBE=2HO

当∠ABE=CBH时,设tanABE=tanCBH=k时,

RtABE中,则AE=10tanABE=10k

RtHBC中,则HC=8tanABE=8k

OP=5kOF=8﹣5kFH=5﹣8k

RtABE中,BE2=AE2+AB2=1001+k2),

RtOFH中,HO2=FH2+OF2=5﹣8k2+8﹣5k2

BE=2HOBE2=4 HO2

1001+k2=4[5﹣8k2+8﹣5k2]

整理得,2 k2﹣5k+2=0

解得,k=2,或k=

k=2时,AE=10k=208,不合题意,舍去;

k=时,AE=10k=58,符合题意,

此时,RtABE的面积=AE×AB=×5×10=25

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