Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质

专题：规律型

分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，求出AB，BA₁，求出边长A₁C和面积即可；进一步求得第3个正方形的边长和面积；以此得出第4个正方形的边长和面积；…类推得出第2010个正方形的边长和面积得出答案．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∵AB=AD=

22+12

=

5

，
∴BA₁=

1

2

5

，
∴第2个正方形A₁B₁C₁C的边长A₁C=A₁B+BC=

3

2

5

，面积是（

3

2

5

）²；
同理第3个正方形的边长是

3

2

5

+

3

4

5

=

9

4

5

，面积是（

3

2

）²（

5

）²；
第4个正方形的边长是（

3

2

）³

5

，面积是（

3

2

）⁶（

5

）²；
…
第2010个正方形的边长是（

3

2

）^2010-1（

5

），面积是（

3

2

）⁴⁰¹⁸（

5

）²=5（

3

2

）⁴⁰¹⁸．
故答案为：5（

3

2

）⁴⁰¹⁸．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，利用规律解决问题．