Question

【题目】已知，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，过点D的直线EF与⊙O相切，分别交BA，BC的延长线于点E，F，BF⊥EF

（I）如图①，若∠ABC＝50°，求∠DBC的大小；

（Ⅱ）如图②，若BC＝2，AB＝4，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）25°；（2）2．

【解析】

（1）如图1，连接OD，BD，由EF与⊙O相切，得到OD⊥EF，由于BF⊥EF，得到OD∥BF，得到∠AOD＝∠ABC＝50°，由外角的性质得到结果；

（2）如图2，连接AC，OD，根据AB为⊙O的直径，得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质得到∠CAB＝30°，于是AC＝ABcos30°＝4×＝2，AH＝AOcos30°＝2×＝，根据三角形的中位线的性质解得结果．

解（1）如图1，连接OD，BD，

∵EF与⊙O相切，

∴OD⊥EF，

∵BF⊥EF，

∴OD∥BF，

∴∠AOD＝∠ABC＝50°，

∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB＝∠AOD＝25°

∴∠DBC＝∠OBC-∠OBD＝25°；

（2）如图2，连接AC，OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵BC＝2，AB＝4，

∴∠CAB＝30°，

∴AC＝ABcos30°＝4×＝2，

∵∠ODF＝∠F＝∠HCO＝90°，

∴∠DHC＝90°，

∴AH＝AOcos30°＝2×＝，

∵∠HAO＝30°，

∴OH＝OA＝OD，

∵AC∥EF，

∴DE＝2AH＝2．