Question

【题目】如图1，在三角形中，，和关于对称

(1)将图1中的以为旋转中心，逆时针方向旋转角，使，得到如图2所示的，分别延长和交于点，则四边形的形状是　 　；

(2)将图1中的以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图3所示的，连接和，得到四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；

(3)如图3中，，将沿着射线方向平移，得到，连接，使四边形恰好为正方形，请直接写出a的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）四边形BCC′D是矩形，理由见解析；（3）a的值为或．

【解析】

（1）由对称的性质结合题意得出DC＝BC＝DA＝AB，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，由旋转的性质得出∠CAC′＝∠BAC＝∠AC′D＝∠BCA，证出AC∥DE，AC′∥BE，得出四边形ACEC′是平行四边形，由旋转可得：AC＝AC′，即可得出四边形ACEC′是菱形；

（2）过点A作AE⊥C′C于点E，由旋转的性质，得AC′＝AC，得出∠CAE＝∠C′AE＝ α＝∠BAC，∠AEC′＝90°，由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠BAC，进而得出∠CAE＝∠BCA，证出AE∥BC．同理，AE∥DC′，得出BC∥DC′，证出四边形BCC′D是平行四边形，求出∠BCC'＝90°，即可得出四边形BCC′D是矩形；

（3）过点B作BF⊥AC于F，证明△ACE∽△CBF，得出，求出CE＝，由等腰三角形的性质得出CC′＝2CE＝，当四边形BCC′'D′恰好为正方形时，分两种情况：①C′'在边CC′上时，a＝CC′CC'；②当点C′'在C′C的延长线上时，a＝CC′＋CC'．

解：（1）∵△ADC和△ABC关于AC对称，

∴DC＝BC，DA＝AB，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，

∵BA＝BC，

∴DC＝BC＝DA＝AB，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，

∵△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到△AC′D，

∴∠CAC′＝∠BAC＝∠AC′D＝∠BCA，

∴AC∥DE，AC′∥BE，

∴四边形ACEC′是平行四边形，

由旋转可得：AC＝AC′，

∴四边形ACEC′是菱形，

故答案为：菱形；

（2）四边形BCC′D是矩形；

理由：过点A作AE⊥C′C于点E，如图3所示：

由旋转的性质，得AC′＝AC，

∴∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠BAC，∠AEC′＝90°，

∵BA＝BC，

∴∠BCA＝∠BAC，

∴∠CAE＝∠BCA，

∴AE∥BC，

同理，AE∥DC′，

∴BC∥DC′，

∵BC＝DC′，

∴四边形BCC′D是平行四边形，

∵AE∥BC，∠AEC′＝90°，

∴∠BCC′＝90°，

∴四边形BCC′D是矩形；

（3）过点B作BF⊥AC于F，

∵BA＝BC，

∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，

在Rt△BCF中，BF＝，

∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，

∴△ACE∽△CBF，

∴，即，

解得：CE＝，

∵AC＝AC′，AE⊥CC′，

∴CC′＝2CE＝，

当四边形BCC′'D′恰好为正方形时，CC'＝BC＝，

分两种情况：①C′'在边CC′上时，如图4所示：

则a＝CC′CC'＝；

②当点C′'在C′C的延长线上时，如图5所示：

则a＝CC′＋CC'＝；

综上所述，a的值为或．