【题目】如图,已知顶点为的抛物线
与
轴交于
,
两点,且
.
(1)求点的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)作直线,问抛物线
上是否存在点
,使得
.若存在,求出点
的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点B的坐标为(6,0);(2)二次函数的解析式为;(3)点M的坐标为
或
【解析】
(1)由条件可知OC=6,根据OB=OC,可求出点B的坐标;
(2)将B,C两点的坐标代入y=ax2+b,求出a,b的值,即可求得二次函数的解析式;
(3)根据题意,分M在BC上方和下方两种情况进行解答,画出相应的图形,然后根据二次函数的性质和锐角三角函数可以求得点M的坐标.
解:(1)∵C(0,-6)
∴
∵
∴
∴点B的坐标为(6,0)
(2)∵抛物线(
≠0)经过点C(0,-6)和点B(6,0),
∴,解得
∴该二次函数的解析式为
(3)存在
①若点M在BC上方,设MC交轴于点D,则∠ODC=45°+15°=60°.
∴∠OCD=30°.
∴设OD=,则CD=2
.
∵在Rt△OCD中,∠COD=90°,OC=6,
∴,
即,
解得(舍),
.
∴点D的坐标为(,0).
设直线DC的函数解析式为
∴,解得
∴直线DC的函数解析式为
∴,解得
(舍),
∴(
,12)
②若点M在BC下方,设MC交轴于点E,则∠OEC=45°-15°=30°.
∵OC=6,则CE=12.
∵在Rt△OCE中,∠COE=90°,
∴=108,∴
.
∴点E的坐标为(,0).
设直线EC的函数解析式为,
∴,解得
∴直线EC的函数解析式为
∴,解得
(舍),
.
∴
综上所述,点M的坐标为或
.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图乙,和
是有公共顶点的等腰直角三角形,
,点
为射线
,
的交点.
(1)如图甲,将绕点
旋转,当
、
、
在同一条直线上时,连接
、
,则下列给出的四个结论中,其中正确的是哪几个 ;(回答直接写序号)
①;②
;③
;④
(2)若,
,把
绕点
旋转.
①当时,求
的长;
②直接写出旋转过程中线段的最大值和最小值.
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【题目】骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱,各种品牌的山地自行车相继投放市场.某车行经营的 A 型车去年 4 月份销售总额为 3.2 万元,今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元,若今年 4 月份与去年4 月份卖出的 A 型车数量相同,则今年 4 月份 A 型车销售总额将比去年 4 月份销售总额增加 25%.(A、B 两种型号车 今年的进货和销售价格如下表所示)
(1)求今年 4 月份 A 型车每辆销售价多少元(用列方程进行解答);
(2)该车行计划 5 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆,设购进的 A 型车为 x 辆,获得的总利润为 y 元,请写 出 y 与 x 之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,若 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最大?最大 利润是多少?
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【题目】如图,△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=16,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动,问:
(1)经过几秒后,△PBQ的面积等于20cm2?
(2)△PBQ的面积会等于△ABC的面积的一半吗?若会,请求出此时的运动时间;若不会,请说明理由.
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【题目】如图,A为反比例函数y=(其中x>0)图象上的一点,在x轴正半轴上有一点B,OB=4.连接OA、AB,且OA=AB=2
.
(1)求k的值;
(2)过点B作BC⊥OB,交反比例函数y=(x>0)的图象于点C.
①连接AC,求△ABC的面积;
②在图上连接OC交AB于点D,求的值.
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【题目】(动手操作)
如图①,把长为l、宽为h的矩形卷成以AB为高的圆柱形,则点A′与点______重合,点B′与点______重合;
(探究发现)
如图②,圆柱的底面周长是80,高是60,若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰,从下底面A出发,沿圆柱侧面绕一周到上底面B,则这条丝线最短的长度是______;
(实践应用)
如图③,圆锥的母线长为12,底面半径为4,若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰,从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面绕一周回到点A.求这条彩带最短的长度是多少?
(拓展联想)
如图④,一颗古树上下粗细相差不大,可以看成圆柱体.测得树干的周长为3米,高为18米,有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上,恰好绕8周到达树干的顶部,这条紫藤至少有 米
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【题目】设二次函数y1,y2的图象的顶点分别为(a,b)、(c,d),当a=﹣c,b=2d,且开口方向相同时,则称y1是y2的“反倍顶二次函数”.
(1)请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”;
(2)已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x,函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”,求n.
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【题目】新定义:对于关于的函数
我们称函数
为函数
的
分函数(其中
为常数).
例如:对于关于的一次函数
的
分函数为
(1)若点在关于
的一次函数
的
分函数上,求
的值.
(2)写出反比例函数的
分函数的图象上
随
的增大而减小的
的取值范围 ;
(3)若是二次函数
关于
的
分函数.
当
时,求
的取值范围.
当
时,
则
的取值范围为 ;
(4)若点连结
当关于
的二次函数
的
分函数,与线段
有两个交点,直接写出
的取值范围.
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