Question

20．阅读下列材料：
某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x，点A（1，t）在反比例函数$y=\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，求点A到直线l的距离．
如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D．他发现OC=CD，∠ADB=45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离．
请回答：
图1中，AD=4，点A到直线l的距离=2$\sqrt{2}$．
参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x，点M（a，b）是反比例函数$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上的一个动点，且点M在第一象限，设点M到直线l的距离为d．

（1）如图2，若a=1，d=$5\sqrt{2}$，则k=9；
（2）如图3，当k=8时，
①若d=$3\sqrt{2}$，则a=2或4；
②在点M运动的过程中，d的最小值为4．

Answer 1

分析 把x=1代入反比例解析式求出t的值，确定出A的坐标，进而确定出AC的长，把x=1代入y=-x求出y的值，确定出CD的长，由AC+CD求出AD的长；利用等腰直角三角形的性质求出点A到直线l的距离即可；
（1）根据题意得到三角形BMD为等腰直角三角形，由MB与BD的长求出MD的长，把x=1代入y=-x求出CD的长，由MD-CD求出MC的长，即可确定出k的值；
（2）①把M坐标代入反比例解析式得到ab=8（i）；同理表示出MD=a+b=6（ii），联立即可求出a与b的值；②把M坐标代入反比例解析式得到ab=8，根据①得到MD=a+b，利用基本不等式求出MD的最小值，即可确定出BM的最小值，即为d的最小值．

解答 解：图1中，把x=1代入反比例解析式得：t=3，即A（1，3），即AC=3，
把x=1代入y=-x得：y=-1，即CD=1，
∴AD=AC+CD=3+1=4，点A到直线l的距离AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=2$\sqrt{2}$；
（1）由题意得：△MBD为等腰直角三角形，
∴MB=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MD=5$\sqrt{2}$，即MD=10，
把x=1代入y=-x得：y=-1，即CD=1，
∴MC=9，
则k=1×9=9；
（2）①由k=8，得到ab=8（i），
如图2所示，得到BM=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=3$\sqrt{2}$，即AD=6，
把x=a代入y=-x得：b=-a，即MD=MC+CD=b+a=6（ii），
联立（i）（ii）得：a=2，b=4或a=4，b=2，
则a=2或4；
②由题意得：ab=8，
∵a+b≥2$\sqrt{ab}$=4$\sqrt{2}$，
∴MD的最小值为4$\sqrt{2}$，
则BM的最小值为4，即d的最小值为4．
故答案为：4；2$\sqrt{2}$；（1）9；（2）①2或4；②4

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．