Question

【题目】如图①，在四边形中，，，，，点从点开始沿边向终点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向终点以每秒的速度移动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为秒.

（1）求证：当时，四边形是平行四边形；

（2）当为何值时，线段平分对角线？并求出此时四边形的周长；

（3）当为何值时，点恰好在的垂直平分线上？

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)t=3, ;(3) .

【解析】

（1）根据，求出DQ,AP的长，再根据平行四边形的判定定理即可求解；

（2）根据题意得到DE=BE,根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，即可求出t的值，再根据勾股定理即可求解；

（3）分别过点、作，，根据矩形的性质可得，求出 的长，再根据垂直平分线的性质得到PD=PQ，故DE=PM，代入即可求出t的值.

（1）证明：∵，

∴当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，

∴，当时，，，

∴，

又∵，∴，

∴四边形为平行四边形.

（2）如图①，设交于点，若平分对角线，则，

∵，

∴，，

在和中，，

∴，

∴，，

∴，解得，符合题意，

∴当秒时，平分对角线，

此时，，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

过点作于点，

∵，，，

∴，，∴，

由勾股定理，得，

∴四边形的周长.

（3）如图②，分别过点、作，，分别交于点、，连接、，

可得四边形是矩形，，，，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∵点在的垂直平分线上，

∴，，四边形是矩形，

∴，即，

解得，

则当为时，点恰好在的垂直平分线上.