【题目】已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:BE与⊙O相切;
(2)连接AD并延长交BE于点F,若OB=9,sin∠ABC= ,求BF的长.
【答案】
(1)证明:连接OC,
∵OD⊥BC,
∴∠COE=∠BOE,
在△OCE和△OBE中,
∵ ,
∴△OCE≌△OBE,
∴∠OBE=∠OCE=90°,即OB⊥BE,
∵OB是⊙O半径,
∴BE与⊙O相切.
(2)解:过点D作DH⊥AB,连接AD并延长交BE于点F,
∵∠DOH=∠BOD,∠DHO=∠BDO=90°,
∴△ODH∽△OBD,
∴ = =
又∵sin∠ABC= ,OB=9,
∴OD=6,
易得∠ABC=∠ODH,
∴sin∠ODH= ,即 = ,
∴OH=4,
∴DH= =2 ,
又∵△ADH∽△AFB,
∴ = , = ,
∴FB=
【解析】(1)连接OC,先证明△OCE≌△OBE,得出EB⊥OB,从而可证得结论.(2)过点D作DH⊥AB,根据sin∠ABC= ,可求出OD=6,OH=4,HB=5,然后由△ADH∽△AFB,利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长.
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【题目】在平行四边形中,对角线与相交于点.要使四边形是正方形,还需添加一组条件.下面给出了五组条件:①,且;②, 且;③,且;④,且;⑤,且.其中正确的是________(填写序号).
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【题目】如图,正方形ABCD的面积为12,△ABC是等边三角形,点E在正方形ABCD内,对角线AC上有一点P使PE+PD的和最小,这个最小值为( )
A. B. C. 3 D.
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【题目】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)
(1)先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1,再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2;
(2)△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称?若是,直接写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A(1,4),B两点,延长AO交反比例函数图象于点C,连接OB.
(1)求k和b的值;
(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围;
(3)在y轴上是否存在一点P,使S△PAC= S△AOB?若存在请求出点P坐标,若不存在请说明理由.
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【题目】如图1,长方形OABC的边OA在数轴上,O为原点,长方形OABC的面积为12,OC边长为3.
(1)数轴上点A表示的数为________.
(2)将长方形OABC沿数轴水平移动,移动后的长方形记为O′A′B′C′,移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分(如图2中阴影部分)的面积记为S.
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时,数轴上点A′表示的数是多少?
②设点A的移动距离AA′=x.
(ⅰ)当S=4时,求x的值;
(ⅱ)D为线段AA′的中点,点E在线段OO′上,且OE=OO′,当点D,E所表示的数互为相反数时,求x的值.
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【题目】下列变形中:
①由方程=2去分母,得x﹣12=10;
②由方程x=两边同除以,得x=1;
③由方程6x﹣4=x+4移项,得7x=0;
④由方程2﹣两边同乘以6,得12﹣x﹣5=3(x+3).
错误变形的个数是( )个.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】为配合我市创建省级文明城市,某校对八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计,各班统计人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况,并制作如下两幅不完整的统计图.
(1)求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者?并将条形图补充完整;
(2)该校决定本周开展主题实践活动,从八年级只有2名文明行为劝导志愿者的班级中任选两名,请用列表或画树状图的方法,求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C、G是⊙O上两点,且AC=CG,过点C的直线CD⊥BG于点D,交BA的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.
(1)求证:CD是⊙O的切线.
(2)若 ,求∠E的度数.
(3)连接AD,在(2)的条件下,若CD= ,求AD的长.
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