【题目】如图,已知直线l的解析式是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的☉C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒移动0.5个单位长度的速度沿着y轴向下运动,当☉C与直线l相切时,则该圆运动的时间为( )
A. 3 s或6 sB. 6 s或10 sC. 3 s或16 sD. 6 s或16 s
【答案】D
【解析】
由直线l的解析式可确定A(3,0)和B(0,-4),由此可得AB=5以及sin∠ABC;由题可知,当☉C在直线l上方与直线l相切时,圆心到直线的距离为1.5,则由sin∠ABC即可求解此时BC的长度,进而求解运动时间;☉C在直线l下方与直线l相切时的求解方法同上.
解:如图,共有两种相切方式,
由直线l的解析式y=x-4,可得A(3,0)和B(0,-4),则AB=5,sin∠ABC=,
当☉C在直线l上方与直线l相切时,CD=1.5,则BC=CD÷sin∠ABC=1.5÷=2.5,即C点的运动距离为1.5+4-2.5=3,则运动时间为3÷0.5=6s;
当☉C在直线l下方与直线l相切时,CD=1.5,则BC=CD÷sin∠ABC=1.5÷=2.5,即C点的运动距离为1.5+4+2.5=8,则运动时间为8÷0.5=16s;
故选择D.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系,格点△ABC(顶点是网格线的交点)的坐标分别是A(﹣2,2),B(﹣3,1),C(﹣1,0).
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△DEF,画出△DEF;
(2)以O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,在网格内画出放大后的△A1B1C1,若P(x,y)为△ABC中的任意一点,这次变换后的对应点P1的坐标为 .
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【题目】在平面直角坐标系中,有两条抛物线关于x轴对称,且他们的顶点相距10个单位长度,若其中一条抛物线的函数表达式为y=+6x+m,则m的值是 ( )
A. -4或-14 B. -4或14 C. 4或-14 D. 4或14
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【题目】问题探究
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;
(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;
问题解决
(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:
方案一:直接锯一个半径最大的圆;
方案二:圆心O1,O2分别在CD,AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;
方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;
方案四:锯一块小矩形BCEF拼接到矩形AEFD下面,并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆。
(1)写出方案一中的圆的半径;
(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?
(3)在方案四中,设CE=(),圆的半径为,
①求关于的函数解析式;
②当取何值时圆的半径最大?最大半径是多少?并说明四种方案中,哪一个圆形桌面的半径最大?
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【题目】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产只同一型号的零件,他们生产的零件(只)与生产时间(分)的函数关系的图象如图所示。根据图象提供的信息解答下列问题:
(1)甲每分钟生产零件_______只;乙在提高生产速度之前已生产了零件_______只;
(2)若乙提高速度后,乙的生产速度是甲的倍,请分别求出甲、乙两人生产全过程中,生产的零件(只)与生产时间(分)的函数关系式;
(3)当两人生产零件的只数相等时,求生产的时间;并求出此时甲工人还有多少只零件没有生产.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+3a(a>0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧).
(1)求抛物线的对称轴及点A,B的坐标;
(2)点C(t,3)是抛物线y=ax2﹣4ax+3a(a>0)上一点,(点C在对称轴的右侧),过点C作x轴的垂线,垂足为点D.
①当CD=AD时,求此时抛物线的表达式;
②当CD>AD时,求t的取值范围.
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【题目】如图,已知等腰三角形ADC,AD=AC,B是线段DC上的一点,连结AB,且有AB=DB.
(1)求证:△ADB∽△CDA;
(2)若DB=2,BC=3,求AD的值.
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