Question

【题目】如图，在ABC中，∠C＝90，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，

（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”；（2）利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长

解：（1）过点O作OM⊥AB于点M

∵正方形OECF

∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F

∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E

∴OM＝OE＝OF

∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E

∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°

∵

∴Rt△AMO≌Rt△AFO

∴∠MA0＝∠FAO

∴点O在∠BAC的平分线上

(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12

∴AB＝13

∴BE＝BM，AM＝AF

又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE

∴BE＝12－OE，AF＝5－OE

∴BM＋AM＝AB

即BE＋AF＝13

12－OE＋5－OE＝13

解得OE＝2