Question

【题目】如图，在的边的异侧作，并使．点在射线上．

(1)如图，若，求证：；

(2)若，试解决下面两个问题：

①如图2，，求的度数；

②如图3，若，过点作交射线于点，当时，求的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见详解；（2）①35°；②117°．

【解析】

（1）根据平行线的性质，可以证得∠DAE=∠D，再通过等量代换得∠DAE=∠C，即可证明；

（2）①设CE与DB交于点G，利用三角形内角和为180°，分别在△CBG和△DAG中把∠CGB表示出来，均是关于∠C的关系式，即可求解；

②根据题设，可证明∠DBF=∠D=∠C，利用三角形内角和为180°，以及平角定义求得∠EFB=2∠C+90，又因为∠EFB=7∠DBF=7∠C，即可求得∠C=18°，而∠CBA=∠DBA，进而可以求得∠BAD的度数．

（1）证明：∵AC//BD

∴∠DAE=∠D

∵∠C=∠D

∴∠DAE=∠C．

∴AD//BC．

（2）①设CE与DB交于点G，如图：

∵ BD⊥AC，∠C=∠D, ∠DAE=120

∴∠CBG=90，

在△CBG中，∠CGB=180-∠CBG -∠C =180-90-∠C，

在△DAG中，∠DGA=180-∠D-∠DAE=180-∠C-20，

而∠CGB=180-∠DGA=180-（180-∠C-20）=∠C+20，

即180-90-∠C=∠C+20，

解得∠C=35．

故答案为35．

②∵BF//AD，∠C=∠D，

∴∠DBF=∠D=∠C，

∵∠EFB=7∠DBF=7∠C，

又∵∠EFB=180-∠CFB=180-（180-∠C-90-∠DBF）=2∠C+90，

即7∠C=2∠C+90，

解得∠C=∠D =18，

在△CBA和△DBA中，∠C=∠D，∠BAC=∠BAD，

∴∠CBA=∠DBA= ．

∴∠BAD=180-∠D-∠DBA=180-18-45=117．

故答案为117．